Seja A=\left(\begin{array}{cccc}1 & 1 & 0 & 1 \\\\ -1 & 0 & 2 & 1 \\\\ 0 & 1 & 2 & 2\end{array}\right). Calcule as dimensões de \operatorname{Lin}(A), \operatorname{Col}(A), N(A) e N\left(A^{t}\right).

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A=\begin{pmatrix}1 & 1 & 0 & 1 \\\\ -1 & 0 & 2 & 1 \\\\ 0 & 1 & 2 & 2\end{pmatrix}
e pede as dimensões de \operatorname{Lin}(A), \operatorname{Col}(A), N(A) e N\left(A^{t}\right).
Informações relevantes que temos explicitamente:
  • A é uma matriz de ordem 3\times4 (3 linhas e 4 colunas).
  • Precisamos das dimensões dos espaços linha ( \operatorname{Lin}(A)), coluna ( \operatorname{Col}(A)), núcleo de A ( N(A)) e núcleo de A^{t} ( N(A^{t})).

Passo 2

Primeiro objetivo: encontrar o posto (rank) de A. O posto é o número máximo de linhas (ou colunas) linearmente independentes. Vou fazer eliminação por linhas (operações elementares) para descobrir quantas linhas independentes sobram.
Começo com A:
\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & 1\\[4pt] -1 & 0 & 2 & 1\\[4pt] 0 & 1 & 2 & 2 \end{pmatrix}
Faço a operação R_2 \leftarrow R_2 + R_1 (somar a primeira linha à segunda):
\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & 1\\[4pt] 0 & 1 & 2 & 2\\[4pt] 0 & 1 & 2 & 2 \end{pmatrix}
Agora vejo que as linhas 2 e 3 são iguais, então faço R_3 \leftarrow R_3 - R_2:
\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & 1\\[4pt] 0 & 1 & 2 & 2\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}
Temos duas linhas não-nulas e visivelmente independentes: a primeira e a segunda. Portanto o posto (rank) de A é 2.]

Passo 3

Explicação: por definição, \operatorname{Lin}(A) (espaço linha) é o subespaço gerado pelas linhas de A. O número de linhas linearmente independentes é exatamente a dimensão de \operatorname{Lin}(A). Como o posto de A é 2, concluímos
\dim\operatorname{Lin}(A)=2.

Passo 4

Também por definição, \operatorname{Col}(A) (espaço coluna) tem dimensão igual ao posto de A. Em geral vale
\dim\operatorname{Col}(A)=\operatorname{rank}(A).
Portanto
\dim\operatorname{Col}(A)=2.
Comentário didático rápido: os pivôs que apareceram nas linhas correspondem às colunas 1 e 2 (na forma escalonada acima), então as colunas 1 e 2 de A são colunas independente que geram \operatorname{Col}(A).

Passo 5

Agora vamos ao núcleo [N(A)={x\in\mathbb{R}^{4}\mid Ax=0}). Usei a forma escalonada obtida no Passo 2; para resolver Ax=0 passo à forma reduzida por linhas:
A forma escalonada que tínhamos era
\begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & 1\\[4pt] 0 & 1 & 2 & 2\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.
Elimino o 1 acima do pivô da segunda linha fazendo R_1\leftarrow R_1-R_2:
\begin{pmatrix} 1 & 0 & -2 & -1\\[4pt] 0 & 1 & 2 & 2\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.
Esse sistema corresponde ao sistema linear
\begin{cases} x_{1}-2x_{3}-x_{4}=0,\\[4pt] x_{2}+2x_{3}+2x_{4}=0. \end{cases}
As variáveis x_{3}\] e \(x_{4} são livres. Coloco x_{3}=s e x_{4}=t com s,t\in\mathbb{R}. Então
x_{1}=2s+t,\qquad x_{2}=-2s-2t.
Escrevendo o vetor solução:
x=\begin{pmatrix}x_{1}\x_{2}\x_{3}\x_{4}\end{pmatrix} = s\begin{pmatrix}2\\\ -2\\\ 1\\\ 0\end{pmatrix} + t\begin{pmatrix}1\\\ -2\\\ 0\\\ 1\end{pmatrix}.
Vemos que o núcleo é gerado por dois vetores (parâmetros s,t), então \dim N(A)=2. Isso coincide com o teorema posto–nulidade: para matriz 3\times4 vale
\dim N(A)=n-\operatorname{rank}(A)=4-2=2.]

Passo 6

Por fim, N\left(A^{t}\right) é o núcleo da matriz transposta (também chamado de left nullspace). Para uma matriz m\times n vale o teorema análogo:
\dim N\left(A^{t}\right)=m-\operatorname{rank}(A).
Aqui m=3 e \operatorname{rank}(A)=2, logo
\dim N\left(A^{t}\right)=3-2=1.
Uma forma concreta de ver isso: das operações do Passo 2 vimos uma relação linear entre as linhas originais: R_1+R_2-R_3=0. Isso significa que o vetor (1,1,-1)^{t} satisfaz A^{t}(1,1,-1)^{t}=0, mostrando explicitamente um vetor não-nulo no núcleo de A^{t}. Como o posto é 2, a dimensão desse núcleo não pode ser maior que 1, então é exatamente 1.

Resposta

\dim\operatorname{Lin}(A)=2
\dim\operatorname{Col}(A)=2
\dim N(A)=2
\dim N\left(A^{t}\right)=1

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