e pede as dimensões de \operatorname{Lin}(A), \operatorname{Col}(A), N(A) e N\left(A^{t}\right).
Informações relevantes que temos explicitamente:
A é uma matriz de ordem 3\times4 (3 linhas e 4 colunas).
Precisamos das dimensões dos espaços linha (\operatorname{Lin}(A)), coluna (\operatorname{Col}(A)), núcleo de A (N(A)) e núcleo de A^{t} (N(A^{t})).
Passo 2
Primeiro objetivo: encontrar o posto (rank) de A. O posto é o número máximo de linhas (ou colunas) linearmente independentes. Vou fazer eliminação por linhas (operações elementares) para descobrir quantas linhas independentes sobram.
Temos duas linhas não-nulas e visivelmente independentes: a primeira e a segunda. Portanto o posto (rank) de A é 2.]
Passo 3
Explicação: por definição, \operatorname{Lin}(A) (espaço linha) é o subespaço gerado pelas linhas de A. O número de linhas linearmente independentes é exatamente a dimensão de \operatorname{Lin}(A). Como o posto de A é 2, concluímos
\dim\operatorname{Lin}(A)=2.
Passo 4
Também por definição, \operatorname{Col}(A) (espaço coluna) tem dimensão igual ao posto de A. Em geral vale
\dim\operatorname{Col}(A)=\operatorname{rank}(A).
Portanto
\dim\operatorname{Col}(A)=2.
Comentário didático rápido: os pivôs que apareceram nas linhas correspondem às colunas 1 e 2 (na forma escalonada acima), então as colunas 1 e 2 de A são colunas independente que geram \operatorname{Col}(A).
Passo 5
Agora vamos ao núcleo [N(A)={x\in\mathbb{R}^{4}\mid Ax=0}). Usei a forma escalonada obtida no Passo 2; para resolver Ax=0 passo à forma reduzida por linhas:
Vemos que o núcleo é gerado por dois vetores (parâmetros s,t), então \dim N(A)=2. Isso coincide com o teorema posto–nulidade: para matriz 3\times4 vale
\dim N(A)=n-\operatorname{rank}(A)=4-2=2.]
Passo 6
Por fim, N\left(A^{t}\right) é o núcleo da matriz transposta (também chamado de left nullspace). Para uma matriz m\times n vale o teorema análogo:
Uma forma concreta de ver isso: das operações do Passo 2 vimos uma relação linear entre as linhas originais: R_1+R_2-R_3=0. Isso significa que o vetor (1,1,-1)^{t} satisfaz A^{t}(1,1,-1)^{t}=0, mostrando explicitamente um vetor não-nulo no núcleo de A^{t}. Como o posto é 2, a dimensão desse núcleo não pode ser maior que 1, então é exatamente 1.