Encontre a base ortonormal de Gram-Schmidt para o espaço formado pelos vetores
c1 1 -1 e l2 1 0.

Passo 1

Resumindo o problema, temos três vetores em R^3:
v1 = 1 1 -1, v2 = 2 1 0, v3 = 3 2 0
Queremos uma base ortonormal para o espaço que eles geram usando o processo de Gram–Schmidt. Para isso, precisamos calcular produtos internos ucdotv, projeções proje(v) e normas |v|.

Passo 2

Aplicamos o Gram–Schmidt ao primeiro vetor: definimos u1=v1 e calculamos
|u1|=raiz1^2+1^2+(-1)^2=raiz3
Normalizando, obtemos
e1=u1|u1|=1raiz31 1 -1

Passo 3

No segundo passo, ortogonalizamos v2 a e1. Primeiro,
v2cdote1 = 2 & 1 & 0cdot1raiz31 1 -1=3raiz3=raiz3,
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proje1(v2)=raiz3,e1=1 1 -1
Subtraindo,
u2=v2-proje1(v2)=1 0 1,
|u2|=raiz1^2+0^2+1^2=raiz2,
e2=u2|u2|=1raiz21 0 1

Passo 4

No terceiro passo, ortogonalizamos v3 a e1 e e2. Primeiro,
v3cdote1=3 & 2 & 0cdot1raiz31 1 -1=5raiz3,
proje1(v3)=5raiz3,e1=531 1 -1,
Depois,
v3cdote2=3 & 2 & 0cdot1raiz21 0 1=3raiz2,
proje2(v3)=3raiz2,e2=321 0 1
Subtraindo tudo,
u3=v3-proje1(v3)-proje2(v3)=16-1 2 1,
|u3|=16raiz(-1)^2+2^2+1^2=raiz66,
e3=u3|u3|=1raiz6-1 2 1

Resposta

A base ortonormal obtida pelo processo de Gram–Schmidt é:
e1 = 1raiz31 1 -1, e2 = 1raiz21 0 1, e3 = 1raiz6-1 2 1

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