Considere o espaço vetorial S3 gerado por r-1 1 -1 e seja r-2 0 -4.
a) Avalie a dimensão de l2 2 h em função do valor de c-4 2 -5.
b) Para que valores de S3 o vetor h pertence ao espaço gerado por h.

Passo 1

Temos os vetores v1,v2,v3 em R^3 e precisamos achar (a) a dimensão do espaço S3=spanv1,v2,v3 em função de h e (b) para quais h o vetor v está em S3. Vamos usar conceitos de independência linear, determinante e solução de sistemas lineares.

Passo 2

Para a parte (a), montamos a matriz cujas colunas são v1,v2,v3 e calculamos seu determinante para testar independência:
A=-1 & -2 & 2 1 & 0 & 2 -1 & -4 & h,
det(A)=2(h-6)
Se det(A)neq0, os vetores são independentes e dim S3=3; se det(A)=0, há dependência e a dimensão cai.

Passo 3

Do cálculo do determinante concluímos que
  • det(A)=0 quando h=6, dando dim S3=2.
  • det(A)neq0 quando hneq6, logo dim S3=3.

Passo 4

Para a parte (b), montamos a combinação linear
x1v1+x2v2+x3v3=v
isto é, o sistema
$$
- x1 -2x2 +2x3 = -4 x1 +2x3 = 2 - x1 -4x2 +h x3 = -5
$$
Da segunda equação vem x1=2-2x3. Substituindo nas outras, obtemos x2=2x3+1 e a última reduz a (h-6)x3=1.

Passo 5

Concluímos que para hneq6 existe solução única dada por x3=1/(h-6) (portanto vin S3), enquanto para h=6 o sistema fica inconsistente (logo vnotin S3).

Resposta

a) dim S3 = 3 se hneq6, e dim S3 = 2 se h=6. b) O vetor v pertence a S3 para todos os hneq6, e não pertence quando h=6.

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