Verifique se as retas dadas são concorrentes. Se sim, obtenha o ponto de interseção e uma equação geral no plano determinado por elas.
r1(lambda)=[l1 1 0]+lambda[l1 2 3] e r2(mu)=[l2 3 3]+mu[l3 2 1].

Passo 1

O enunciado dá duas retas em R^3
r1(lambda)=110+lambda123, r2(mu)=233+mu321,
e pede (a) verificar se elas se interceptam (isto é, se existem lambda,mu tais que r1(lambda)=r2(mu)), (b) achar o ponto de interseção, e (c) obter uma equação geral do plano determinado por essas duas retas. Para isso vamos usar resolução de sistemas lineares e produto vetorial para o plano.

Passo 2

Igualamos coordenada a coordenada
1+lambda = 2+3mu, 1+2lambda = 3+2mu, 0+3lambda = 3+mu
Da terceira equação segue
3lambda = 3+mu ;Longrightarrow; mu = 3lambda - 3
Substituindo em 1+lambda = 2+3mu obtemos
1+lambda = 2 + 3(3lambda-3) =2 +9lambda -9 =9lambda -7 ;Longrightarrow; -8lambda +8=0 ;Longrightarrow; lambda=1
Então mu=3cdot1-3=0. A segunda equação fica 1+2=3+0, que confere.

Passo 3

Como existe solução única (lambda,mu)=(1,0), as retas são concorrentes e o ponto comum é
r1(1) =1+11+20+3 =233

Passo 4

O plano determinado por essas retas passa pelo ponto P=(2,3,3) e contém os vetores diretores
v1=(1,2,3) e v2=(3,2,1). Um vetor normal ao plano é
n =v1timesv2 =(1,2,3)times(3,2,1) =l(2cdot1-3cdot2,;3cdot3-1cdot1,;1cdot2-2cdot3r) =(-4,8,-4)
Podemos simplificar para n=(1,-2,1). A equação do plano é
ncdotl((x,y,z)-(2,3,3)r)=0 ;Longrightarrow; 1(x-2)-2(y-3)+1(z-3)=0 ;Longrightarrow; x-2y+z+1=0

Resposta

As retas são concorrentes no ponto (2,3,3) e o plano determinado por elas tem equação
x - 2y + z + 1 = 0

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