Verifique se o dado conjunto é uma base do R-espaço vetorial P4(R). Caso seja, encontre as coordenadas do polinômio p(t)=5-t^2-2 t^3-3 t^4 em relação a base dada.
B=1+t^2, t+t^2, 4 t^3, 2-t^4, 3+t^2+4 t^3-t^4

Passo 1

O espaço P4(R) tem dimensão 5. A base candidata
B=,v1,v2,v3,v4,v5 com
v1=1+t^2, v2=t+t^2, v3=4t^3, v4=2-t^4, v5=3+t^2+4t^3-t^4
tem exatamente 5 vetores, logo basta verificar se são linearmente independentes para concluir se formam base.

Passo 2

Escrevemos cada vj nas coordenadas do padrão 1,t,t^2,t^3,t^4 e montamos a matriz cujas colunas são essas coordenadas:
M = 1 & 0 & 0 & 2 & 3 0 & 1 & 0 & 0 & 0 1 & 1 & 0 & 0 & 1 0 & 0 & 4 & 0 & 4 0 & 0 & 0 & -1 & -1
onde, por exemplo, a primeira coluna (1,0,1,0,0)^T vem de v1=1+t^2, a segunda de v2=t+t^2 e assim por diante.

Passo 3

Calculamos o determinante de M. Por expansão adequada (por exemplo, pela segunda linha e depois por submatrizes), encontra-se
det(M)=0
Como det(M)=0, os vetores de B são linearmente dependentes e, portanto, não formam uma base de P4(R).

Passo 4

Em particular, da dependência linear verifica-se a relação
v1+v3+v4-v5 =(1+t^2) + 4t^3 + (2 - t^4) - (3 + t^2 + 4t^3 - t^4) =0

Resposta

B não é base de P4(R). Consequentemente, não há coordenadas únicas de nenhum polinômio em relação a B.

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