Encontre uma base de soluções usando o Método de Fröbenius. Tente identificar as séries como expansões em funções conhecidas.
Passo 1
A equação é
. Vamos usar o Método de Fröbenius, ou seja, buscar uma solução da forma
. Vamos precisar de:\
– expressão para \
– determinar equação indicial e recorrência de coeficientes\
– identificar séries em funções conhecidas (Bessel modificada).
– expressão para
– determinar equação indicial e recorrência de coeficientes\
– identificar séries em funções conhecidas (Bessel modificada).
Passo 2
Escrevendo
Substituindo em
Passo 3
Do termo de menor potência (
) surge a equação indicial:
Para os demais termos a recorrência é
Passo 4
Para
temos
e, por indução,
$$a_n = \frac{a_0}{n!,(n+1)!}.
$$
Passo 5
Para
a recorrência força
indeterminado (divisão por zero), gerando só a solução trivial analítica. O segundo solução independente envolve termo logarítmico e se reconhece como a função de Bessel modificada do segundo tipo
. Usando redução de ordem ou expansão de Frobenius com log, obtém-se
$$y_2(x)=C_2,\sqrt{x},K_1\bigl(2\sqrt{x}\bigr).
$$
Passo 6
Logo a base de soluções do espaço de soluções é dada por
$${,\sqrt{x},I_1(2\sqrt{x}),;\sqrt{x},K_1(2\sqrt{x})}.
$$
Resposta
A base de soluções é {√x I₁(2√x), √x K₁(2√x)}