Encontre uma base de soluções usando o Método de Fröbenius. Tente identificar as séries como expansões em funções conhecidas.
x y^prime prime-y=0

Passo 1

A equação é x y'' - y = 0. Vamos usar o Método de Fröbenius, ou seja, buscar uma solução da forma y = sumn=0^infty an x^n+r. Vamos precisar de:\
– expressão para y''\
– determinar equação indicial e recorrência de coeficientes\
– identificar séries em funções conhecidas (Bessel modificada).

Passo 2

Escrevendo
y = sumn=0^infty an x^n+r,
y''= sumn=0^infty an (n+r)(n+r-1),x^n+r-2
Substituindo em x y'' - y = 0 e igualando potências de x^n+r obtemos a equação indicial e a relação de recorrência.

Passo 3

Do termo de menor potência ( n=0) surge a equação indicial:
a0,r(r-1)=0 implies r=1 ou r=0
Para os demais termos a recorrência é
an+1 = an(n+r+1)(n+r), n>=0

Passo 4

Para r=1 temos
an+1 = an(n+2)(n+1)
e, por indução,
$$a_n = \frac{a_0}{n!,(n+1)!}.
an = a0n!,(n+1)! çãéy_1 = a_0,x\sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!,(n+1)!}.
y1 = a0,xsumn=0^infty x^nn!,(n+1)! éãçãI_1(z)=\sum_{n=0}^\infty \frac{(z/2)^{2n+1}}{n!,(n+1)!}.
I1y_1(x)=C_1,\sqrt{x},I_1\bigl(2\sqrt{x}\bigr).
$$

Passo 5

Para r=0 a recorrência força a1 indeterminado (divisão por zero), gerando só a solução trivial analítica. O segundo solução independente envolve termo logarítmico e se reconhece como a função de Bessel modificada do segundo tipo K1. Usando redução de ordem ou expansão de Frobenius com log, obtém-se
$$y_2(x)=C_2,\sqrt{x},K_1\bigl(2\sqrt{x}\bigr).
$$

Passo 6

Logo a base de soluções do espaço de soluções é dada por
$${,\sqrt{x},I_1(2\sqrt{x}),;\sqrt{x},K_1(2\sqrt{x})}.
$$

Resposta

A base de soluções é {√x I₁(2√x), √x K₁(2√x)}

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