(a) Encontre uma base tanto do espaço linha quanto do espaço coluna da matriz
A=\left(\begin{array}{ccccc} 2 & -3 & -8 & 1 & 0 \\\\ 1 & 1 & 1 & -1 & 4 \\\\ -3 & 2 & 7 & 1 & -5 \\\\ 1 & 0 & -1 & 0 & 2 \\\\ -1 & 2 & 5 & 2 & -2 \end{array}\right)
(Valor: 2 pontos)
(b) Expresse cada coluna de A que não pertence à base do espaço coluna encontrada no item (a), como uma combinação linear dos elementos da base encontrada. (Valor: 1 ponto)

Passo 1

O enunciado nos dá a matriz
A=\begin{pmatrix} 2 & -3 & -8 & 1 & 0\\\\ 1 & 1 & 1 & -1 & 4\\\\ -3 & 2 & 7 & 1 & -5\\\\ 1 & 0 & -1 & 0 & 2\\\\ -1 & 2 & 5 & 2 & -2 \end{pmatrix},
e pede (a) uma base do espaço linha e do espaço coluna e (b) expressar as colunas que não entram na base do espaço coluna como combinação linear das colunas que estão na base. Vamos usar eliminação de Gauss para encontrar o posto e os pivôs, que indicam as colunas-pivô e as linhas-pivô.

Passo 2

Aplicamos eliminação de Gauss em A para obter uma forma escalonada na linha:
\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & -1 & 4\\\\ 0 & -5 & -10 & 3 & -8\\\\ 0 & 0 & 0 & 1 & -1\\\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\\\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.
Dessa forma vemos que há pivôs nas colunas 1, 2 e 4, e o posto de A é 3.

Passo 3

Como colunas-pivô são as colunas 1,2,4 de A, uma base do espaço coluna de A é dada pelos vetores
v_1=\begin{pmatrix}2\\\ 1\\\ -3\\\ 1\\\ -1\end{pmatrix},\quad v_2=\begin{pmatrix}-3\\\ 1\\\ 2\\\ 0\\\ 2\end{pmatrix},\quad v_4=\begin{pmatrix}1\\\ -1\\\ 1\\\ 0\\\ 2\end{pmatrix}.

Passo 4

As linhas não nulas da forma escalonada fornecem uma base do espaço linha. Podemos escolher, por simplicidade, as seguintes três linhas:
r_1=(1,\,1,\,1,\,0,\,3),\quad r_2=(0,\,-5,\,-10,\,0,\,-5),\quad r_3=(0,\,0,\,0,\,1,\,-1).

Passo 5

Para (b), as colunas 3 e 5 não são pivô e devem ser escritas em função de v_1,v_2,v_4.
Para a coluna 3, solução do sistema
a\,v_1+b\,v_2+c\,v_4=v_3,\quad v_3=(-8,1,7,-1,5)^T,
vem a=-1, b=2, c=0. Logo
v_3=-1\,v_1+2\,v_2+0\,v_4.
Para a coluna 5, solução do sistema
a\,v_1+b\,v_2+c\,v_4=v_5,\quad v_5=(0,4,-5,2,-2)^T,
vem a=2, b=1, c=-1. Logo
v_5=2\,v_1+1\,v_2-1\,v_4.

Resposta

(a) Base do espaço coluna:
\bigl\{(2,1,-3,1,-1)^T,\;(-3,1,2,0,2)^T,\;(1,-1,1,0,2)^T\}.
Base do espaço linha:
\{(1,1,1,0,3),\;(0,-5,-10,0,-5),\;(0,0,0,1,-1)\}.
(b)
\text{col}_3 = -1\cdot\text{col}_1 + 2\cdot\text{col}_2 + 0\cdot\text{col}_4, \quad \text{col}_5 = 2\cdot\text{col}_1 + 1\cdot\text{col}_2 - 1\cdot\text{col}_4.

Exercícios relacionados