Expresse o vetor \mathbf{w} como uma combinação linear dos vetores
\mathbf{v}_{1}=(1,-2,3,2), \quad \mathbf{v}_{2}=(2,-4,8,3), \quad \mathbf{v}_{3}=(3,-6,10,6)
se isto for possível. Em caso negativo, demonstre a impossibilidade. (Valor total: 1 ponto)
\mathbf{w}=(1,-2,4,-1);

Passo 1

O enunciado pede para escrever \mathbf{w}=(1,-2,4,-1) como combinação linear dos vetores
\mathbf{v}_{1}=(1,-2,3,2),\quad \mathbf{v}_{2}=(2,-4,8,3),\quad \mathbf{v}_{3}=(3,-6,10,6).
Isto significa achar escalares a,b,c tais que
a\,\mathbf{v}_1 + b\,\mathbf{v}_2 + c\,\mathbf{v}_3 = \mathbf{w}.
Para isso, montamos um sistema linear coordenada a coordenada.

Passo 2

Da igualdade
a(1,-2,3,2) + b(2,-4,8,3) + c(3,-6,10,6) = (1,-2,4,-1)
extraímos as quatro equações:
\begin{cases} a + 2b + 3c = 1,\\\\ -2a -4b -6c = -2,\\\\ 3a +8b +10c = 4,\\\\ 2a +3b +6c = -1. \end{cases}

Passo 3

Note que a segunda equação é simplesmente -2 vezes a primeira, logo é redundante. Podemos então usar as equações
\begin{cases} a + 2b + 3c = 1,\\\\ 3a +8b +10c = 4,\\\\ 2a +3b +6c = -1. \end{cases}

Passo 4

Da primeira equação isolamos
a = 1 - 2b - 3c.
Substituindo em
3a +8b +10c = 4 \quad\text{e}\quad 2a +3b +6c = -1
temos, após simplificar,
2b + c = 1, \qquad -\,b = -3.
Dessas vem b=3 e c=1-2\cdot3=-5. Então
a = 1 - 2\cdot3 - 3\cdot(-5) = 10.

Passo 5

Logo
\mathbf{w} = 10\,\mathbf{v}_1 + 3\,\mathbf{v}_2 - 5\,\mathbf{v}_3.

Resposta

\displaystyle \mathbf{w} = 10\,\mathbf{v}_1 + 3\,\mathbf{v}_2 - 5\,\mathbf{v}_3.

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