Encontre a matriz inversa da matriz dada.
\left[\begin{array}{llll}1 & 0 & 0 & 0 \\\\ 0 & 1 & 0 & 0 \\\\ 2 & 3 & 1 & 0 \\\\ 1 & 2 & 0 & 1\end{array}\right] \quad

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\\\ 0 & 1 & 0 & 0\\\\ 2 & 3 & 1 & 0\\\\ 1 & 2 & 0 & 1 \end{pmatrix}
e pede A^{-1}. Como A é uma matriz quadrada 4\times 4 em forma de bloco triangular inferior, vamos usar o fato de que, se
A = \begin{pmatrix} I_2 & 0\\\ C & I_2 \end{pmatrix},
então
A^{-1} = \begin{pmatrix} I_2 & 0\\\\ -\,C & I_2 \end{pmatrix}.

Passo 2

Identificamos os blocos de A conforme a partição 2\times 2:
I_2 = \begin{pmatrix}1&0\\\ 0&1\end{pmatrix}, \quad 0 = \begin{pmatrix}0&0\\\ 0&0\end{pmatrix}, \quad C = \begin{pmatrix}2&3\\\ 1&2\end{pmatrix}.
Ou seja,
A = \begin{pmatrix} I_2 & 0\\\ C & I_2 \end{pmatrix}.

Passo 3

Pelo teorema de inversão de matriz triangular inferior em blocos, temos diretamente
A^{-1} = \begin{pmatrix} I_2 & 0\\\\ -\,C & I_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} I_2 & 0\\\\ -\begin{pmatrix}2&3\\\ 1&2\end{pmatrix} & I_2 \end{pmatrix}.

Passo 4

Substituindo os valores de I_2 e de -C, obtemos
A^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\\\ 0 & 1 & 0 & 0\\\\ -2 & -3 & 1 & 0\\\\ -1 & -2 & 0 & 1 \end{pmatrix}.

Passo 5

Para checar rapidamente, multiplique a terceira linha de A^{-1} pela coluna 1 de A:
(-2)\cdot1 + (-3)\cdot0 + 1\cdot2 + 0\cdot1 = -2 + 0 + 2 + 0 = 0,
o que é consistente com a identidade na posição ( 3,1). As demais entradas se comportam de forma análoga.

Resposta

A^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\\\ 0 & 1 & 0 & 0\\\\ -2 & -3 & 1 & 0\\\\ -1 & -2 & 0 & 1 \end{pmatrix}.

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