Expresse o vetor \mathbf{w} como uma combinação linear dos vetores
\mathbf{v}_{1}=(1,-2,3,2), \quad \mathbf{v}_{2}=(2,-4,8,3), \quad \mathbf{v}_{3}=(3,-6,10,6)
se isto for possível. Em caso negativo, demonstre a impossibilidade. (Valor total: 1 ponto)
$\mathbf{w}=(1,3,4,-1).

Passo 1

O enunciado pede para ver se existe \alpha_{1},\alpha_{2},\alpha_{3} tais que
\alpha_{1}\mathbf{v}_{1}+\alpha_{2}\mathbf{v}_{2}+\alpha_{3}\mathbf{v}_{3} =\mathbf{w},
onde
\mathbf{v}_{1}=(1,-2,3,2),
\mathbf{v}_{2}=(2,-4,8,3),
\mathbf{v}_{3}=(3,-6,10,6)
e
\mathbf{w}=(1,3,4,-1).
O conteúdo aqui é combinação linear em \mathbb{R}^4, que reduz a resolver um sistema de 4 equações lineares.

Passo 2

Escrevendo coordenada a coordenada, obtemos o sistema
\begin{cases} \alpha_{1} + 2\alpha_{2} + 3\alpha_{3} = 1,\\\\ -2\alpha_{1} -4\alpha_{2} -6\alpha_{3} = 3,\\\\ 3\alpha_{1} +8\alpha_{2} +10\alpha_{3} = 4,\\\\ 2\alpha_{1} +3\alpha_{2} +6\alpha_{3} = -1. \end{cases}

Passo 3

Para checar consistência, multiplico a primeira equação por 2 e somo à segunda:
2\bigl(\alpha_{1} + 2\alpha_{2} + 3\alpha_{3}\bigr) + \bigl(-2\alpha_{1} -4\alpha_{2} -6\alpha_{3}\bigr) = 2\cdot1 + 3
que dá
0 = 5,
uma contradição. Logo o sistema não tem solução.

Resposta

Não é possível expressar \mathbf{w} como combinação linear de \mathbf{v}_{1},\mathbf{v}_{2},\mathbf{v}_{3}.

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