Encontre uma base tanto do es-paço-linha quanto do espaço-coluna da matriz dada A
[lll5 & 2 & 4 2 & 1 & 1 4 & 1 & 5]

Passo 1

O enunciado pede uma base do espaço-linha e do espaço-coluna da matriz
A= 5 & 2 & 4 2 & 1 & 1 4 & 1 & 5
Para isso vamos usar eliminação de Gauss para descobrir o posto de A, extrair a forma reduzida por linhas (RREF) e identificar os pivôs.

Passo 2

Aplicamos eliminação de Gauss em A. Primeiro zeramos abaixo de a11=5 com
R2 R2 - tfrac25R1, R3 R3 - tfrac45R1,
obtendo
5 & 2 & 4 0 & tfrac15 & -tfrac35 0 & -tfrac35 & tfrac95
Multiplicando R2 e R3 por 5 e zerando o terceiro pivô, chegamos à forma escalonada
5 & 2 & 4 0 & 1 & -3 0 & 0 & 0
Para obter a forma reduzida, eliminamos acima de a22 e normalizamos a11, conseguindo
RREF(A) = 1 & 0 & 2 0 & 1 & -3 0 & 0 & 0

Passo 3

Da RREF(A) vemos que o posto é 2 e que há pivôs nas colunas 1 e 2. As linhas não nulas de RREF(A) formam uma base do espaço-linha:
(1,0,2) e (0,1,-3)

Passo 4

As colunas originais de A que contêm pivôs (colunas 1 e 2) formam uma base do espaço-coluna:
(5,2,4) e (2,1,1)

Resposta

Uma base do espaço-linha de A é
(1,0,2),,(0,1,-3)
e uma base do espaço-coluna de A é
(5,2,4),,(2,1,1)

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