Encontre uma base tanto do es-paço-linha quanto do espaço-coluna da matriz dada A
[rrrr1 & -4 & -3 & -7 2 & -1 & 1 & 7 1 & 2 & 3 & 11]

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A = 1 & -4 & -3 & -7 2 & -1 & 1 & 7 1 & 2 & 3 & 11
e pede uma base do espaço-linha e do espaço-coluna.
Conteúdo: espaços gerados por linhas e colunas e eliminação de Gauss.
Plano: usar operações de linha para levar A a uma forma escalonada; as linhas não-nulas dessa forma dão uma base do espaço-linha; as colunas de A correspondentes aos pivôs dão uma base do espaço-coluna.

Passo 2

Aplicamos eliminação de Gauss em A:
1 & -4 & -3 & -7 2 & -1 & 1 & 7 1 & 2 & 3 & 11 ;xrightarrowL2>=ts L2-2L1,;L3>=ts L3-L1; 1 & -4 & -3 & -7 0 & 7 & 7 & 21 0 & 6 & 6 & 18
Em seguida eliminamos a segunda coluna da terceira linha:
1 & -4 & -3 & -7 0 & 7 & 7 & 21 0 & 6 & 6 & 18 ;xrightarrowL3>=ts L3-67L2; 1 & -4 & -3 & -7 0 & 7 & 7 & 21 0 & 0 & 0 & 0
Agora temos forma escalonada com duas linhas não-nulas; o posto é 2.

Passo 3

O espaço-linha de A é gerado pelas duas linhas não-nulas da forma escalonada. Para simplificar a leitura, dividimos a segunda linha por 7 (isso não altera o espaço gerado):
linhas não-nulas: l(1,,-4,,-3,,-7r), l(0,,1,,1,,3r) ã
Essas duas linhas são independentes e geram todo o espaço-linha de A.

Passo 4

O espaço-coluna de A é gerado pelas colunas de A que contêm pivô na forma escalonada. Os pivôs estão nas colunas 1 e 2. Portanto, escolhemos como base do espaço-coluna as colunas originais 1 e 2 de A:
121 e -4-12

Resposta

Base do espaço-linha:
Blinha =l,(1,,-4,,-3,,-7),;(0,,1,,1,,3)r
Base do espaço-coluna:
Bcoluna =l, 121, -4-12 r

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