Encontre uma base tanto do es-paço-linha quanto do espaço-coluna da matriz dada A
[rrrr1 & 4 & 9 & 2 2 & 2 & 6 & -3 2 & 7 & 16 & 3]

Passo 1

O enunciado pede duas bases: uma para o espaço–linha de A (o subespaço gerado pelas linhas de A) e outra para o espaço–coluna de A (o subespaço gerado pelas colunas de A). Vamos usar eliminação gaussiana para obter a forma escalonada reduzida (RREF) de A, a fim de identificar pivôs e assim construir as bases.

Passo 2

Começamos com
A = 1 & 4 & 9 & 2 2 & 2 & 6 & -3 2 & 7 & 16 & 3
Fazemos
R2 R2 - 2R1 e R3 R3 - 2R1,
obtendo
1 & 4 & 9 & 2 0 & -6 & -12 & -7 0 & -1 & -2 & -1
Agora permutamos R2 e R3 e multiplicamos a nova R2 por -1:
1 & 4 & 9 & 2 0 & 1 & 2 & 1 0 & -6 & -12 & -7
Em seguida,
R3 R3 + 6R2
leva a
1 & 4 & 9 & 2 0 & 1 & 2 & 1 0 & 0 & 0 & -1

Passo 3

Para chegar à RREF, fazemos ainda
R3 -R3 Rightarrow 1 & 4 & 9 & 2 0 & 1 & 2 & 1 0 & 0 & 0 & 1 ,
depois
R1 R1 - 2R3, R2 R2 - R3
e depois
R1 R1 -4R2,
chegando à forma
RREF(A) = 1 & 0 & 1 & 0 0 & 1 & 2 & 0 0 & 0 & 0 & 1
Vemos que há pivôs nas colunas 1, 2 e 4, e que o posto de A é 3.

Passo 4

Base do espaço–linha: são as linhas não nulas da RREF. Assim,
l(1,0,1,0),;(0,1,2,0),;(0,0,0,1)r
é uma base de Row(A).

Passo 5

Base do espaço–coluna: pegamos as colunas de A correspondentes aos pivôs (colunas 1, 2 e 4). Logo,
l(1,2,2),;(4,2,7),;(2,-3,3)r
é uma base de Col(A).

Resposta

Base do espaço–linha de A:
(1,0,1,0),,(0,1,2,0),,(0,0,0,1)
Base do espaço–coluna de A:
(1,2,2),,(4,2,7),,(2,-3,3)

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