Encontre uma base tanto do es-paço-linha quanto do espaço-coluna da matriz dada A
[rrrr1 & -3 & -9 & -5 2 & 1 & 4 & 11 1 & 3 & 3 & 13]

Passo 1

O enunciado pede duas bases: do espaço-linha e do espaço-coluna da matriz
A= 1 & -3 & -9 & -5 2 & 1 & 4 & 11 1 & 3 & 3 & 13
O conteúdo envolvido é o de espaços gerados por linhas e colunas de A. Para encontrar essas bases, vamos escalonar A, identificar as linhas e colunas pivô e extrair delas vetores que formam bases de cada espaço.

Passo 2

Escalonamos A por operações de linha para chegar à forma escalonada reduzida (RREF):
Aplicando
R2 to R2 - 2R1, R3 to R3 - R1
obtém-se
1 & -3 & -9 & -5 0 & 7 & 22 & 21 0 & 6 & 12 & 18
Em seguida,
R3 to R3 - tfrac67R2
1 & -3 & -9 & -5 0 & 7 & 22 & 21 0 & 0 & -tfrac487 & 0
Por fim, normalizando as linhas-pivô e eliminando acima delas, obtemos
1 & 0 & 0 & 4 0 & 1 & 0 & 3 0 & 0 & 1 & 0

Passo 3

Da forma escalonada reduzida vemos que o posto de A é 3 (há três pivôs) e eles estão nas colunas 1, 2 e 3. Assim o espaço-linha tem dimensão 3 e o espaço-coluna também tem dimensão 3.

Passo 4

Uma base do espaço-linha é dada pelas linhas não-nulas da forma escalonada reduzida. São os vetores
(1,0,0,4), (0,1,0,3), (0,0,1,0)

Passo 5

Uma base do espaço-coluna é dada pelas colunas originais de A correspondentes às colunas-pivô 1, 2 e 3. São os vetores
(1,2,1)^T, (-3,1,3)^T, (-9,4,3)^T

Resposta

Base do espaço-linha:
(1,0,0,4),,(0,1,0,3),,(0,0,1,0)
Base do espaço-coluna:
(1,2,1)^T,;(-3,1,3)^T,;(-9,4,3)^T

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