Encontre uma base tanto do es-paço-linha quanto do espaço-coluna da matriz dada A
[rrrr1 & 1 & -1 & 7 1 & 4 & 5 & 16 1 & 3 & 3 & 13 2 & 5 & 4 & 23]

Passo 1

O enunciado pede uma base do espaço-linha (row space) e do espaço-coluna (column space) da matriz
A = 1 & 1 & -1 & 7 1 & 4 & 5 & 16 1 & 3 & 3 & 13 2 & 5 & 4 & 23
Para isso vamos usar eliminação de Gauss para encontrar a forma escalonada de A, identificar as linhas não nulas (que geram o espaço-linha) e as colunas-pivô (que geram o espaço-coluna).

Passo 2

Aplicamos operações de linha em A:
  1. R2 R2-R1, R3 R3-R1, R4 R4-2R1
    obtém-se 1 & 1 & -1 & 7 0 & 3 & 6 & 9 0 & 2 & 4 & 6 0 & 3 & 6 & 9
  2. Dividimos R2 por 3: R2 tfrac13R2 Longrightarrow 1 & 1 & -1 & 7 0 & 1 & 2 & 3 0 & 2 & 4 & 6 0 & 3 & 6 & 9
  3. Eliminamos as entradas embaixo e acima do pivô de R2: R3 R3-2R2, R4 R4-3R2, R1 R1-R2 resultando em 1 & 0 & -3 & 4 0 & 1 & 2 & 3 0 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 0
Nesta forma escalonada vemos que o posto de A é 2, com pivôs nas colunas 1 e 2.

Passo 3

As linhas não nulas da forma escalonada geram o espaço-linha. Assim, uma base do espaço-linha é
(1,0,-3,4),;(0,1,2,3)

Passo 4

As colunas-pivô são as colunas 1 e 2 de A. Logo, retirando-as da matriz original, uma base do espaço-coluna é
(1,1,1,2)^T,;(1,4,3,5)^T

Resposta

Base do espaço-linha:
(1,0,-3,4),;(0,1,2,3)
Base do espaço-coluna:
(1,1,1,2)^T,;(1,4,3,5)^T

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