Encontre uma base tanto do es-paço-linha quanto do espaço-coluna da matriz dada
Passo 1
O enunciado pede uma base do espaço-linha (row space) e do espaço-coluna (column space) da matriz
Para isso vamos usar eliminação de Gauss para encontrar a forma escalonada de
A , identificar as linhas não nulas (que geram o espaço-linha) e as colunas-pivô (que geram o espaço-coluna).
Passo 2
Aplicamos operações de linha em
A :
-
,R2 R2-R1 ,R3 R3-R1 R4 R4-2R1
obtém-se1 & 1 & -1 & 7 0 & 3 & 6 & 9 0 & 2 & 4 & 6 0 & 3 & 6 & 9 - Dividimos
porR2 :3 R2 tfrac13R2 Longrightarrow 1 & 1 & -1 & 7 0 & 1 & 2 & 3 0 & 2 & 4 & 6 0 & 3 & 6 & 9 - Eliminamos as entradas embaixo e acima do pivô de
:R2 resultando emR3 R3-2R2, R4 R4-3R2, R1 R1-R2 1 & 0 & -3 & 4 0 & 1 & 2 & 3 0 & 0 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 0
Nesta forma escalonada vemos que o posto de
A é
2 , com pivôs nas colunas
1 e
2 .
Passo 3
As linhas não nulas da forma escalonada geram o espaço-linha. Assim, uma base do espaço-linha é
Passo 4
As colunas-pivô são as colunas
1 e
2 de
A . Logo, retirando-as da matriz original, uma base do espaço-coluna é
Resposta
Base do espaço-linha:
Base do espaço-coluna: