Encontre uma base tanto do es-paço-linha quanto do espaço-coluna da matriz dada A
[rrrr1 & 3 & 3 & 9 2 & 7 & 4 & 8 2 & 7 & 5 & 12 2 & 8 & 3 & 2]

Passo 1

O enunciado pede para encontrar uma base do espaço-linha e uma base do espaço-coluna da matriz
A = 1 & 3 & 3 & 9 2 & 7 & 4 & 8 2 & 7 & 5 & 12 2 & 8 & 3 & 2
O conteúdo necessário é o de eliminação de Gauss para obter a forma reduzida por linhas (RREF), identificar pivôs e extrair as linhas não nulas (para o espaço-linha) e as colunas pivô da matriz original (para o espaço-coluna).

Passo 2

Aplicamos operações de linha para transformar A em RREF. Primeiro zeramos abaixo de ,a11=1:
R2 R2-2R1,;R3 R3-2R1,;R4 R4-2R1.
Em seguida, com pivô em a22=1, fazemos
R3 R3-R2,;R4 R4-2R2.
Depois, com pivô em a33, eliminamos o resto da coluna 3 e por fim ajustamos as linhas acima para zerar acima dos pivôs.

Passo 3

O resultado final da RREF é
1 & 0 & 0 & 3 0 & 1 & 0 & -2 0 & 0 & 1 & 4 0 & 0 & 0 & 0
Aqui há pivôs nas colunas 1, 2 e 3, e três linhas não nulas.

Passo 4

A base do espaço-linha é dada pelas linhas não nulas da RREF:
Blinha =(1,0,0,3),,(0,1,0,-2),,(0,0,1,4)

Passo 5

A base do espaço-coluna vem das colunas originais de A que são pivô (colunas 1,2,3):
Bcoluna =(1,2,2,2),,(3,7,7,8),,(3,4,5,3)

Resposta

A base do espaço-linha é
(1,0,0,3),,(0,1,0,-2),,(0,0,1,4),
e a base do espaço-coluna é
(1,2,2,2),,(3,7,7,8),,(3,4,5,3)

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