Encontre uma base tanto do es-paço-linha quanto do espaço-coluna da matriz dada A
[rrrr1 & -2 & -3 & -5 1 & 4 & 9 & 2 1 & 3 & 7 & 1 2 & 2 & 6 & -3]

Passo 1

O enunciado pede para encontrarmos bases de dois subespaços associados à matriz
A= 1 & -2 & -3 & -5 1 & 4 & 9 & 2 1 & 3 & 7 & 1 2 & 2 & 6 & -3
O conteúdo envolve redução de Gauss para achar uma forma de escada, de onde extraímos:
  • as linhas não nulas dessa forma como base do espaço-linha,
  • e as colunas-pivô (na forma escalonada) como base do espaço-coluna.

Passo 2

Aplicando eliminação de Gauss sobre A obtemos a forma de escada
1 & -2 & -3 & -5 1 & 4 & 9 & 2 1 & 3 & 7 & 1 2 & 2 & 6 & -3 ;sim; 1 & -2 & -3 & -5 0 & 6 & 12 & 7 0 & 0 & 0 & tfrac16 0 & 0 & 0 & 0
Dessa forma, os pivôs estão nas colunas 1, 2 e 4, e aparecem três linhas não-nulas.

Passo 3

As linhas não-nulas da forma escalonada formam uma base de Row(A). Logo, podemos tomar
(1,-2,-3,-5),;(0,6,12,7),;(0,0,0,tfrac16)
como base do espaço-linha.

Passo 4

As colunas-pivô são as de índices 1, 2 e 4. Portanto, uma base de Col(A) é dada pelas colunas originais correspondentes:
(1,1,1,2)^T,;(-2,4,3,2)^T,;(-5,2,1,-3)^T

Resposta

Base de Row(A): (1,-2,-3,-5),;(0,6,12,7),;(0,0,0,tfrac16)
Base de Col(A): (1,1,1,2)^T,;(-2,4,3,2)^T,;(-5,2,1,-3)^T

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