1. Seja A=(ccc-1 & -2 & 0 0 & -1 & 1 1 & 0 & 0) a matriz de um operador linear. Determine os autovalores e autovetores de A.

Passo 1

O enunciado pede os autovalores e autovetores de A. O conteúdo usado será a definição de autovalor (solução de det(A-lambda I)=0) e de autovetor (vetor não nulo satisfazendo (A-lambda I)v=0). Vamos então calcular o polinômio característico, achar suas raízes e, em seguida, resolver os sistemas (A-lambda I)v=0 para cada lambda.

Passo 2

Primeiro calculamos o determinante de A-lambda I. Temos
det(A-lambda I) =det -1-lambda & -2 & 0 0 & -1-lambda & 1 1 & 0 & -lambda
Expandindo pela primeira linha,
det(A-lambda I) =(-1-lambda)l[(-1-lambda)(-lambda)-1cdot0r] -(-2)l[0cdot(-lambda)-1cdot1r]
Isso dá
det(A-lambda I) =-(lambda+1)^2lambda-2 =lambda^3+2lambda^2+lambda+2

Passo 3

Agora resolvemos
lambda^3+2lambda^2+lambda+2=0
Testando raízes racionais, vemos que lambda=-2 anula o polinômio. Dividindo por lambda+2 obtemos lambda^2+1. Logo as raízes são
lambda1=-2, lambda2,3=pm i

Passo 4

Para resolvemos
Dessas equações vem , e , consistente para livre. Tomando , obtemos um autovetor
associado a .

Passo 5

Para resolvemos
Dessa forma chega-se a
Escolhendo para evitar frações, um autovetor é
para . Para basta tomar o conjugado,

Resposta

lambda1=-2, v1=-2-11
lambda2=i, v2=2-(1+i)-2i
lambda3=-i, v3=2-(1-i)2i

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