Encontre uma base tanto do es-paço-linha quanto do espaço-coluna da matriz dada A
[lllll1 & 1 & 3 & 3 & 1 2 & 3 & 7 & 8 & 2 2 & 3 & 7 & 8 & 3 3 & 1 & 7 & 5 & 4]

Passo 1

O enunciado pede para encontrar uma base do espaço-linha e do espaço-coluna da matriz
A = 1 & 1 & 3 & 3 & 1 2 & 3 & 7 & 8 & 2 2 & 3 & 7 & 8 & 3 3 & 1 & 7 & 5 & 4
O conteúdo é teoria de subespaços em álgebra linear; vamos usar eliminação de Gauss para descobrir a forma escalonada, identificar linhas pivôs para o espaço-linha e colunas pivôs para o espaço-coluna.

Passo 2

Aplicamos operações elementares para triangularizar A. Primeiro, subtrai-se o dobro da linha 1 das linhas 2 e 3, e o triplo da linha 1 da linha 4:
1 & 1 & 3 & 3 & 1 0 & 1 & 1 & 2 & 0 0 & 1 & 1 & 2 & 1 0 & -2& -2& -4& 1
Em seguida, zeramos abaixo do pivô da coluna 2:
R3>=tsR3-R2, R4>=tsR4+2,R2,
ficando
1 & 1 & 3 & 3 & 1 0 & 1 & 1 & 2 & 0 0 & 0 & 0 & 0 & 1 0 & 0 & 0 & 0 & 1
Portanto, os pivôs aparecem nas colunas 1, 2 e 5, e temos três linhas não nulas no escalonamento.

Passo 3

O espaço-linha de A é gerado pelas linhas não nulas da forma escalonada. Assim, uma base para o espaço-linha é
l(1,,1,,3,,3,,1),;(0,,1,,1,,2,,0),;(0,,0,,0,,0,,1)r

Passo 4

O espaço-coluna de A é gerado pelas colunas de A que contêm pivôs. Como os pivôs estão nas colunas 1, 2 e 5, uma base para o espaço-coluna é formada por
l(1,2,2,3)^T,;(1,3,3,1)^T,;(1,2,3,4)^Tr

Resposta

Base do espaço-linha:
(1,1,3,3,1), (0,1,1,2,0), (0,0,0,0,1).
Base do espaço-coluna:
(1,2,2,3)^T, (1,3,3,1)^T, (1,2,3,4)^T.

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