Se W é um subespaço de um espaço vetorial V de dimensão finita n, mostre que dimK W <= n. Em particular, se dimK W=dimK V, então W=V.

Passo 1

O enunciado diz que V é um espaço vetorial sobre K de dimensão finita n e que W é um subespaço de V. Precisamos mostrar duas coisas:
  1. dimKW<= n.
  2. Se dimKW=dimKV, então W=V.
    Vamos usar os conceitos de base, dimensão, conjuntos linearmente independentes e o fato de que todo conjunto linearmente independente num espaço de dimensão n tem, no máximo, n vetores.

Passo 2

Seja
BW=w1,dots,wm
uma base de W. Por definição de base, BW é um conjunto linearmente independente e gera W. Como Wsubseteq V, esse mesmo conjunto é linearmente independente em V. Pelo teorema de extensão de um conjunto linearmente independente a uma base, podemos acrescentar vetores vm+1,dots,vn em V de modo que
BV = w1,dots,wm,vm+1,dots,vn
seja uma base de V. Como qualquer base de V tem exatamente n vetores, concluímos que
m = #BW ;<=; #BV = n
Logo
dimKW = m <= n

Passo 3

Se agora dimKW = dimKV = n, então a base BW de W tem n vetores. Mas qualquer conjunto linearmente independente de n vetores em V já é uma base de V. Portanto
BW;>=ra;V,
o que implica V=span(BW)=W.

Resposta

dimKW<= n. Em particular, se dimKW=dimKV, então W=V.

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