Se
é um subespaço de um espaço vetorial
de dimensão finita
, mostre que
. Em particular, se
, então
.
Passo 1
O enunciado diz que
é um espaço vetorial sobre
de dimensão finita
e que
é um subespaço de
. Precisamos mostrar duas coisas:
-
. - Se
, então .
Vamos usar os conceitos de base, dimensão, conjuntos linearmente independentes e o fato de que todo conjunto linearmente independente num espaço de dimensãotem, no máximo, vetores.
Passo 2
Seja
uma base de
. Por definição de base,
é um conjunto linearmente independente e gera
. Como
, esse mesmo conjunto é linearmente independente em
. Pelo teorema de extensão de um conjunto linearmente independente a uma base, podemos acrescentar vetores
em
de modo que
seja uma base de
. Como qualquer base de
tem exatamente
vetores, concluímos que
Logo
Passo 3
Se agora
, então a base
de
tem
vetores. Mas qualquer conjunto linearmente independente de
vetores em
já é uma base de
. Portanto
o que implica
.