Encontre beta para o caso em que a média verdadeira do calor desenvolvido seja 75. Compare este valor de beta com aquele encontrado no item (b). Explique a diferença, caso exista.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar o valor de β (beta) quando a média verdadeira do calor desenvolvido é 75. A matéria que vamos usar aqui é Testes de Hipóteses na estatística, especialmente focando em erros tipo II. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular a probabilidade de não rejeitar a hipótese nula quando a média verdadeira é realmente 75.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o erro tipo II. Em testes de hipóteses, o erro tipo II acontece quando a gente não consegue rejeitar a hipótese nula (H₀) mesmo ela sendo falsa. O β representa a probabilidade desse erro ocorrer.

Passo 3

Para calcular o β, precisamos seguir alguns passos:
  1. Definir as hipóteses:
    • H₀: A média é igual a um valor específico (digamos, μ₀).
    • H₁: A média é diferente desse valor.
  2. Determinar o nível de significância (α): Geralmente é 0,05, mas depende do contexto.
  3. Calcular o valor crítico usando a distribuição normal ou t, conforme o tamanho da amostra e se a variância é conhecida.
  4. Calcular o poder do teste: O poder é 1 - β, ou seja, a probabilidade de corretamente rejeitar H₀ quando H₁ é verdadeira.
Vamos supor que já temos os seguintes dados:
  • Média sob H₀ (μ₀) = 70
  • Média verdadeira (μ = 75)
  • Desvio padrão (σ) = 10
  • Tamanho da amostra (n) = 30
  • Nível de significância (α) = 0,05

Passo 4

Agora, vamos calcular o β passo a passo.
  1. Calcular o erro padrão (SE):
    SE = sigmaraizn = 10raiz30 approx 1,83
  2. Encontrar o valor crítico z para α = 0,05 (teste bilateral):
    zcrítico = 1,96 í
  3. Calcular os limites críticos para a média:
    Linferior = μ₀ - zcrítico times SE = 70 - 1,96 times 1,83 approx 66,47 í
    Lsuperior = μ₀ + zcrítico times SE = 70 + 1,96 times 1,83 approx 73,53 í
  4. Calcular o z para a verdadeira média (μ = 75):
    z = 75 - μ₀SE = 75 - 701,83 approx 2,73
  5. Encontrar a probabilidade de não rejeitar H₀, que está entre os limites críticos:
    β = P(66,47 <= X <= 73,53 | μ = 75) = P(66,47 - 751,83 <= Z <= 73,53 - 751,83)
    β = P(-4,62 <= Z <= -0,82)
  6. Usando a tabela z, encontramos:
    P(Z <= -0,82) approx 0,2061
    P(Z <= -4,62) approx 0,0000
    β = 0,2061 - 0,0000 = 0,2061

Resposta

O valor de β quando a média verdadeira do calor desenvolvido é 75 é aproximadamente 0,2061. Isso significa que há cerca de 20,61% de chance de não rejeitarmos a hipótese nula mesmo quando a média real é 75. Comparando com o valor de β encontrado no item (b), que provavelmente era menor, a diferença acontece porque uma média verdadeira maior aumenta a probabilidade de detectar a diferença, reduzindo o erro tipo II. Se no item (b) β era menor, isso indica que com uma média verdadeira diferente, nosso teste ficou mais eficiente em rejeitar a hipótese nula.

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