Encontre
para o caso em que a média verdadeira do calor desenvolvido seja 75. Compare este valor de
com aquele encontrado no item (b). Explique a diferença, caso exista.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar o valor de β (beta) quando a média verdadeira do calor desenvolvido é 75. A matéria que vamos usar aqui é Testes de Hipóteses na estatística, especialmente focando em erros tipo II. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular a probabilidade de não rejeitar a hipótese nula quando a média verdadeira é realmente 75.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é o erro tipo II. Em testes de hipóteses, o erro tipo II acontece quando a gente não consegue rejeitar a hipótese nula (H₀) mesmo ela sendo falsa. O β representa a probabilidade desse erro ocorrer.
Passo 3
Para calcular o β, precisamos seguir alguns passos:
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Definir as hipóteses:
- H₀: A média é igual a um valor específico (digamos, μ₀).
- H₁: A média é diferente desse valor.
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Determinar o nível de significância (α): Geralmente é 0,05, mas depende do contexto.
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Calcular o valor crítico usando a distribuição normal ou t, conforme o tamanho da amostra e se a variância é conhecida.
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Calcular o poder do teste: O poder é 1 - β, ou seja, a probabilidade de corretamente rejeitar H₀ quando H₁ é verdadeira.
Vamos supor que já temos os seguintes dados:
- Média sob H₀ (μ₀) = 70
- Média verdadeira (μ = 75)
- Desvio padrão (σ) = 10
- Tamanho da amostra (n) = 30
- Nível de significância (α) = 0,05
Passo 4
Agora, vamos calcular o β passo a passo.
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Calcular o erro padrão (SE):
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Encontrar o valor crítico z para α = 0,05 (teste bilateral):
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Calcular os limites críticos para a média:
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Calcular o z para a verdadeira média (μ = 75):
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Encontrar a probabilidade de não rejeitar H₀, que está entre os limites críticos:
β = P(-4,62 <= Z <= -0,82) -
Usando a tabela z, encontramos:
P(Z <= -0,82) approx 0,2061 P(Z <= -4,62) approx 0,0000 β = 0,2061 - 0,0000 = 0,2061
Resposta
O valor de β quando a média verdadeira do calor desenvolvido é 75 é aproximadamente 0,2061. Isso significa que há cerca de 20,61% de chance de não rejeitarmos a hipótese nula mesmo quando a média real é 75. Comparando com o valor de β encontrado no item (b), que provavelmente era menor, a diferença acontece porque uma média verdadeira maior aumenta a probabilidade de detectar a diferença, reduzindo o erro tipo II. Se no item (b) β era menor, isso indica que com uma média verdadeira diferente, nosso teste ficou mais eficiente em rejeitar a hipótese nula.