Encontre, em cada caso, o raio de convergência e o intervalo de convergência das séries de potências dadas:
\sum_{n=0}^{\infty} x^{2 n}.

Passo 1

Resumindo o enunciado: precisamos achar o raio de convergência R e o intervalo de convergência da série de potências
\sum_{n=0}^{\infty} x^{2n}.
O conteúdo é série geométrica / teste da razão em séries de potências.

Passo 2

Indicando o termo geral por u_n = x^{2n}, aplicamos o teste da razão:
L = \lim_{n\to\infty}\left|\frac{u_{n+1}}{u_n}\right| = \lim_{n\to\infty}\frac{|x|^{2(n+1)}}{|x|^{2n}} = |x|^2.
A série converge se L<1, isto é
|x|^2<1\quad\Longleftrightarrow\quad|x|<1.

Passo 3

Da condição |x|<1 concluímos que o raio de convergência é
R=1.

Passo 4

Resta verificar os extremos:
Para x=1, o termo geral é u_n=1^{2n}=1, que não tende a zero, logo diverge.
Para x=-1, o termo geral é u_n=(-1)^{2n}=1, também não tende a zero, logo diverge.
Assim, não há convergência em x=\pm1.

Resposta

O raio de convergência é R=1 e o intervalo de convergência é (-1,1).

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