Encontre, em cada caso, o raio de convergência e o intervalo de convergência das séries de potências dadas:
\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{n+1}}{n+1}.

Passo 1

O enunciado nos dá a série de potências centrada em zero
\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{n+1}}{n+1}
e pede o raio de convergência R e o intervalo de convergência. Para isso, vamos usar o teste da razão, que é a forma mais direta de tratar séries de potências.

Passo 2

Definimos o termo geral
a_n = \frac{x^{n+1}}{n+1}
e aplicamos o teste da razão:
L = \lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| = \lim_{n\to\infty} \left|\frac{x^{(n+1)+1}/(n+2)}{\,x^{n+1}/(n+1)}\right| = \lim_{n\to\infty}|x|\;\frac{n+1}{n+2} = |x|.
A série converge se L<1 e diverge se L>1. Logo, a região de convergência absoluta é |x|<1, de onde obtemos
R = 1.

Passo 3

Falta agora verificar o comportamento nos extremos do disco |x|<1, ou seja, em x=1 e em x=-1.

Passo 4

Em x=1 temos
\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1^{n+1}}{n+1} =\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n+1},
que é essencialmente a série harmônica (com índice deslocado). Essa série diverge. Portanto não há convergência em x=1.

Passo 5

Em x=-1 a série fica
\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n+1} =-\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n+1}.
Trata-se de uma série alternante cujos termos \tfrac1{n+1} tendem a zero e decrescem em módulo. Pelo critério de Leibniz essa série converge (condicionalmente).

Resposta

O raio de convergência é R=1.
O intervalo de convergência é \bigl[-1,1\bigr), com convergência condicional em x=-1 e divergência em x=1.

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