Encontre, em cada caso, o raio de convergência e o intervalo de convergência das séries de potências dadas: \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{n+1}}{n+1}.
Passo 1
O enunciado nos dá a série de potências centrada em zero
\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^{n+1}}{n+1}
e pede o raio de convergência R e o intervalo de convergência. Para isso, vamos usar o teste da razão, que é a forma mais direta de tratar séries de potências.
Passo 2
Definimos o termo geral
a_n = \frac{x^{n+1}}{n+1}
e aplicamos o teste da razão:
L = \lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| = \lim_{n\to\infty} \left|\frac{x^{(n+1)+1}/(n+2)}{\,x^{n+1}/(n+1)}\right| = \lim_{n\to\infty}|x|\;\frac{n+1}{n+2} = |x|.
A série converge se L<1 e diverge se L>1. Logo, a região de convergência absoluta é |x|<1, de onde obtemos
R = 1.
Passo 3
Falta agora verificar o comportamento nos extremos do disco |x|<1, ou seja, em x=1 e em x=-1.
Trata-se de uma série alternante cujos termos \tfrac1{n+1} tendem a zero e decrescem em módulo. Pelo critério de Leibniz essa série converge (condicionalmente).
Resposta
O raio de convergência é R=1.
O intervalo de convergência é \bigl[-1,1\bigr), com convergência condicional em x=-1 e divergência em x=1.