Encontre, em cada caso, o raio de convergência e o intervalo de convergência das séries de potências dadas:
\sum_{n=0}^{\infty}(2 x-1)^{n}.

Passo 1

O enunciado pede o raio de convergência e o intervalo de convergência da série de potências
\sum_{n=0}^{\infty}(2x-1)^{n}.
Este é um caso clássico de série geométrica em que cada termo é da forma (2x-1)^{n}. Para resolver, basta reconhecer a série geométrica e usar a condição de convergência \lvert a\rvert<1.

Passo 2

Identificamos que a série é geométrica com razão
a = 2x - 1.
A série geométrica \sum_{n=0}^{\infty}a^{n} converge se, e somente se, \lvert a\rvert < 1.

Passo 3

Aplicamos a condição de convergência:
\lvert 2x - 1\rvert < 1.
Isso garante que os termos vão a zero e a soma infinita converge.

Passo 4

Resolvemos a desigualdade \lvert 2x - 1\rvert < 1:
-1 < 2x - 1 < 1.
Somando 1 a cada membro:
0 < 2x < 2,
dividindo por 2:
0 < x < 1.
Logo, o intervalo de convergência é 0 < x < 1.

Passo 5

Verificamos os extremos do intervalo:
  • Em x=0, temos (2\cdot0-1)^{n}=(-1)^{n}, cuja série \sum(-1)^{n} não converge (não tende a zero).
  • Em x=1, temos (2\cdot1-1)^{n}=1^{n}, cuja série \sum1 diverge por não tender a zero.
    Portanto, nos extremos não há convergência.

Passo 6

Para calcular o raio de convergência R, observa-se que a série pode ser vista como
\sum_{n=0}^{\infty}\bigl[2(x-\tfrac12)\bigr]^{n},
ou seja, é centrada em x_{0}=\tfrac12 e converge quando
\lvert x-\tfrac12\rvert<\tfrac12.
Daí segue que
R = \frac12.

Resposta

Raio de convergência: R=\tfrac12.
Intervalo de convergência: 0<x<1.

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