Encontre, em cada caso, o raio de convergência e o intervalo de convergência das séries de potências dadas:
.
Passo 1
O enunciado pede o raio de convergência e o intervalo de convergência da série de potências
Este é um caso clássico de série geométrica em que cada termo é da forma
. Para resolver, basta reconhecer a série geométrica e usar a condição de convergência
.
Passo 2
Identificamos que a série é geométrica com razão
A série geométrica
converge se, e somente se,
.
Passo 3
Aplicamos a condição de convergência:
Isso garante que os termos vão a zero e a soma infinita converge.
Passo 4
Resolvemos a desigualdade
:
Somando
a cada membro:
dividindo por
:
Logo, o intervalo de convergência é
.
Passo 5
Verificamos os extremos do intervalo:
- Em
, temos , cuja série não converge (não tende a zero). - Em
, temos , cuja série diverge por não tender a zero.
Portanto, nos extremos não há convergência.
Passo 6
Para calcular o raio de convergência
, observa-se que a série pode ser vista como
ou seja, é centrada em
e converge quando
.
Daí segue que
Daí segue que
Resposta
Raio de convergência:
.
Intervalo de convergência: .
Intervalo de convergência: