Encontre, em cada caso, o raio de convergência e o intervalo de convergência das séries de potências dadas:
.
Passo 1
O enunciado pede o raio de convergência e o intervalo de convergência da série de potências
O conteúdo é convergência de séries de potências: usaremos o teste da razão para obter o raio e, em seguida, testaremos os extremos do intervalo.
Passo 2
Seja o termo geral da série
Aplicando o teste da razão, calculamos
Passo 3
O teste da razão diz que a série converge se
, isto é
Portanto, o raio de convergência é
Passo 4
Testamos agora os extremos:
Em a série fica
Em
cujo termo geral não tende a zero, logo diverge.
Em a série é
Em
e o termo geral em módulo cresce sem limite, também diverge.
Assim, não há convergência nos extremos.
Assim, não há convergência nos extremos.
Resposta
Raio de convergência:
.
Intervalo de convergência: .
Intervalo de convergência: