Encontre, em cada caso, o raio de convergência e o intervalo de convergência das séries de potências dadas:
\sum_{n=2}^{\infty} n(n-1) x^{n-2}.

Passo 1

O enunciado pede o raio de convergência e o intervalo de convergência da série de potências
\sum_{n=2}^\infty n(n-1)x^{n-2}.
O conteúdo é convergência de séries de potências: usaremos o teste da razão para obter o raio e, em seguida, testaremos os extremos do intervalo.

Passo 2

Seja o termo geral da série
a_n = n(n-1)x^{n-2}.
Aplicando o teste da razão, calculamos
L = \lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| = \lim_{n\to\infty}\left|\frac{(n+1)n\,x^{n-1}}{n(n-1)\,x^{n-2}}\right| = \lim_{n\to\infty}\left|\frac{n+1}{n-1}\,x\right| = |x|.

Passo 3

O teste da razão diz que a série converge se L<1, isto é
|x|<1.
Portanto, o raio de convergência é
R = 1.

Passo 4

Testamos agora os extremos:
Em x=1 a série fica
\sum_{n=2}^\infty n(n-1),
cujo termo geral não tende a zero, logo diverge.
Em x=-1 a série é
\sum_{n=2}^\infty n(n-1)(-1)^{n-2},
e o termo geral em módulo cresce sem limite, também diverge.
Assim, não há convergência nos extremos.

Resposta

Raio de convergência: R=1.
Intervalo de convergência: (-1,1).

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