Seja
f: D_{f} \subseteq \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R} uma função tal que ( 0,0 ) é um ponto de acumulação de seu domínio. Sabe-se que para quaisquer valores de
m e
n , com
m^{2}+n^{2} \neq 0, \lim _{t \rightarrow 0} f(m t, n t)=\lim _{t \rightarrow 0} f(r(t))=0 .
Seja
\gamma \neq r uma curva tal que
\gamma(t) \in D_{f}, \forall t \neq 0 e
\gamma(0)=(0,0) .
Sabendo-se que
\lim _{t \rightarrow 0} f(\gamma(t))=c , o que se pode dizer sobre
\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} f(x, y) quando
c \neq 0 ? E quando
c=0 ?
Musportno:
L=0 . (Podem ser aplicadas as propriedades algébricas de limite).
L=0 . (O numerador e denominador podem ser multiplicados por
y , depois separa-se como produto de dois limites. Para calcular um desses limites, toma-se
u=x y e a propriedade que relaciona
(x, y) \rightarrow(0,0) com
u \rightarrow 0 , e aplica-se o limite trigonométrico fundamental).
\nexists L , pois tendendo-se pelas curvas
\gamma_{1}(t)=(t, 0) e
\gamma_{2}(t)=(0, t), t>0 , os limites são diferentes.
\nexists L , idem ao 3 .
\nexists L , pois tendendo-se pela curva
\gamma(t)=(t, 0,0), t>0 , o limite tende a
+\infty (ou
t<0 , tende a
-\infty ).
\nexists L , pois tendendo-se pela curvas
\gamma_{1}(t)=(t+1,1) e
\gamma_{2}(t)=(1, t+1), t>0 , os limites são diferentes.
L=\frac{1}{2} . (O numerador e denominador podem ser multiplicados por
x^{2} , depois separa-se como produto de dois limites. Para calcular um desses limites, toma-se
u=x(y-2) e a propriedade que relaciona
(x, y) \rightarrow(1,2) com
u \rightarrow 0 , e calcula-se um limite trigonométrico).
L=0 . (Escrevendo como diferença de limites, em cada um pode ser aplicado o teorema do anulamento).
\nexists L , pois tendendo-se pela curva
\gamma(t)=(0, t+1), t>0 , o limite tende
+\infty (ou
t<0 , tende
a-\infty ).
\nexists L , pois tendendo-se pela curva
\gamma(t)=(0, t) , esse limite não existe.
L=0 . (Pode ser aplicado o teorema do anulamento).
A L , verifique que as curvas de nível de
f tendem a interseção em
(0,0) , tomando-se o limite por duas delas, os limites são diferentes.
\nexists L , idem ao 12 .
L=0 . (Pode ser aplicado o teorema do anulamento).
L=0 . (O numerador e denominador podem ser multiplicados por
x-y , depois separa-se como produto de dois limites. Para calcular um desses limites, toma-se
u=x^{2}-y^{2} e a propriedade que relaciona
(x, y) \rightarrow(0,0) com
u \rightarrow 0 , e aplica-se o limite trigonométrico fundamental).
\nexists L, L \rightarrow+\infty , toma-se
u=x^{2}+y^{2} e a propriedade que relaciona
(x, y) \rightarrow(0,0) com
u \rightarrow 0 , e aplica-se a regra de L’Hôpital.
L=1 . (A função pode ser escrita como soma de duas funções, uma delas é simplificada e igual a 1. Para calcular o limite da outra função pode ser aplicado o teorema do anulamento).
\nexists L , pois tendendo-se pela curva
\gamma(t)=(t, 0) , esse limite não existe.
\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} ; x \neq y\right\}
\mathbb{R}^{2}
\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} ; x^{2}+y^{2}+z^{2} \neq 4\right\}
\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} ; x^{2}+y^{2}+z^{2} \leq 2\right\}
\mathbb{R}^{2}
\mathbb{R}^{2} (Para mostrar, separa-se o domínio em três partes: em
x^{2}+y^{2}<2 e
x^{2}+y^{2}>2 aplicam-se as propriedades de continuidade. Em
x^{2}+y^{2}=2 é preciso calcular dois limites, onde em um deles a função é nula, logo o limite é nulo; para calcular o outro limite toma-se
u=x^{2}+y^{2}<2 e a propriedade que relaciona
(x, y) \rightarrow\left(x_{0}, y_{0}\right) (aqui
x_{0}^{2}+y_{0}^{2}=2 ) com
u \rightarrow 2^{-} .
\mathbb{R}^{2} (idem ao 24.)
Sim. É composta de contínuas.
Quando
c \neq 0 , pode-se afirmar que
\nexists \lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} f(x, y) pois os limites são diferentes por duas curvas distintas, a curva
\gamma e qualquer reta
r .
Quando
c=0 , nada se pode afirmar, pois o fato de que o limite pela curva
\gamma e por todas as retas
r serem iguais a 0 , não impede que exista outra curva
s onde o limite tenha valor diferente de 0 .
Um exemplo onde o limite não é igual a 0: a função do exercício 13. satisfaz todas as condições, tanto pelas retas, quanto pela curva
\gamma(t)=\left(t, t^{2}\right) o limite é igual a 0 , no entanto foi visto que o limite nem existe.