Encontre, em cada caso, o raio de convergência e o intervalo de convergência das séries de potências dadas:
\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n} \frac{x^{2 n+1}}{(2 n+1)!}.

Passo 1

O enunciado pede o raio de convergência e o intervalo de convergência da série de potências
\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\,\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}.
Para achar o raio de convergência vamos usar o teste da razão de Cauchy.

Passo 2

Definimos
a_n = (-1)^{n}\,\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}
e aplicamos o teste da razão, calculando
\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| =\left|\frac{(-1)^{n+1}\,x^{2(n+1)+1}/(2(n+1)+1)!}{(-1)^{n}\,x^{2n+1}/(2n+1)!}\right|.

Passo 3

Simplificando a expressão obtemos
\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| =\frac{|x|^{2n+3}}{(2n+3)!}\,\frac{(2n+1)!}{|x|^{2n+1}} =\frac{|x|^2}{(2n+2)(2n+3)}.

Passo 4

Tomando o limite quando n\to\infty,
\lim_{n\to\infty}\frac{|x|^2}{(2n+2)(2n+3)}=0.
Como esse limite é 0<1 para todo x\in\mathbb{R}, a série converge absolutamente em todo \mathbb{R}. Logo, o raio de convergência é infinito:
R=\infty.

Passo 5

Como R=\infty, o intervalo de convergência é
(-\infty,\infty).

Resposta

Raio de convergência: R=\infty.
Intervalo de convergência: (-\infty,\infty).

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