Seja f: D_{f} \subseteq \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R} uma função tal que ( 0,0 ) é um ponto de acumulação de seu domínio. Sabe-se que para quaisquer valores de m e n, com m^{2}+n^{2} \neq 0, \lim _{t \rightarrow 0} f(m t, n t)=\lim _{t \rightarrow 0} f(r(t))=0.
Seja \gamma \neq r uma curva tal que \gamma(t) \in D_{f}, \forall t \neq 0 e \gamma(0)=(0,0).
Sabendo-se que \lim _{t \rightarrow 0} f(\gamma(t))=c, o que se pode dizer sobre \lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} f(x, y) quando c \neq 0 ? E quando c=0 ?

Musportno:

  1. L=0. (Podem ser aplicadas as propriedades algébricas de limite).
  2. L=0. (O numerador e denominador podem ser multiplicados por y, depois separa-se como produto de dois limites. Para calcular um desses limites, toma-se u=x y e a propriedade que relaciona (x, y) \rightarrow(0,0) com u \rightarrow 0, e aplica-se o limite trigonométrico fundamental).
  3. \nexists L, pois tendendo-se pelas curvas \gamma_{1}(t)=(t, 0) e \gamma_{2}(t)=(0, t), t>0, os limites são diferentes.
  4. \nexists L, idem ao 3 .
  5. \nexists L, pois tendendo-se pela curva \gamma(t)=(t, 0,0), t>0, o limite tende a +\infty (ou t<0, tende a -\infty ).
  6. \nexists L, pois tendendo-se pela curvas \gamma_{1}(t)=(t+1,1) e \gamma_{2}(t)=(1, t+1), t>0, os limites são diferentes.
  7. L=\frac{1}{2}. (O numerador e denominador podem ser multiplicados por x^{2}, depois separa-se como produto de dois limites. Para calcular um desses limites, toma-se u=x(y-2) e a propriedade que relaciona (x, y) \rightarrow(1,2) com u \rightarrow 0, e calcula-se um limite trigonométrico).
  8. L=0. (Escrevendo como diferença de limites, em cada um pode ser aplicado o teorema do anulamento).
  9. \nexists L, pois tendendo-se pela curva \gamma(t)=(0, t+1), t>0, o limite tende +\infty (ou t<0, tende a-\infty ).
  10. \nexists L, pois tendendo-se pela curva \gamma(t)=(0, t), esse limite não existe.
  11. L=0. (Pode ser aplicado o teorema do anulamento).
  12. A L, verifique que as curvas de nível de f tendem a interseção em (0,0), tomando-se o limite por duas delas, os limites são diferentes.
  13. \nexists L, idem ao 12 .
  14. L=0. (Pode ser aplicado o teorema do anulamento).
  15. L=0. (O numerador e denominador podem ser multiplicados por x-y, depois separa-se como produto de dois limites. Para calcular um desses limites, toma-se u=x^{2}-y^{2} e a propriedade que relaciona (x, y) \rightarrow(0,0) com u \rightarrow 0, e aplica-se o limite trigonométrico fundamental).
  16. \nexists L, L \rightarrow+\infty, toma-se u=x^{2}+y^{2} e a propriedade que relaciona (x, y) \rightarrow(0,0) com u \rightarrow 0, e aplica-se a regra de L’Hôpital.
  17. L=1. (A função pode ser escrita como soma de duas funções, uma delas é simplificada e igual a 1. Para calcular o limite da outra função pode ser aplicado o teorema do anulamento).
  18. \nexists L, pois tendendo-se pela curva \gamma(t)=(t, 0), esse limite não existe.
  19. \left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2} ; x \neq y\right\}
  20. \mathbb{R}^{2}
  21. \left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} ; x^{2}+y^{2}+z^{2} \neq 4\right\}
  22. \left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3} ; x^{2}+y^{2}+z^{2} \leq 2\right\}
  23. \mathbb{R}^{2}
  24. \mathbb{R}^{2} (Para mostrar, separa-se o domínio em três partes: em x^{2}+y^{2}<2 e x^{2}+y^{2}>2 aplicam-se as propriedades de continuidade. Em x^{2}+y^{2}=2 é preciso calcular dois limites, onde em um deles a função é nula, logo o limite é nulo; para calcular o outro limite toma-se u=x^{2}+y^{2}<2 e a propriedade que relaciona (x, y) \rightarrow\left(x_{0}, y_{0}\right) (aqui x_{0}^{2}+y_{0}^{2}=2 ) com u \rightarrow 2^{-}.
  25. \mathbb{R}^{2} (idem ao 24.)
  26. Sim. É composta de contínuas.
  27. Quando c \neq 0, pode-se afirmar que \nexists \lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} f(x, y) pois os limites são diferentes por duas curvas distintas, a curva \gamma e qualquer reta r.
    Quando c=0, nada se pode afirmar, pois o fato de que o limite pela curva \gamma e por todas as retas r serem iguais a 0 , não impede que exista outra curva s onde o limite tenha valor diferente de 0 .
    Um exemplo onde o limite não é igual a 0: a função do exercício 13. satisfaz todas as condições, tanto pelas retas, quanto pela curva \gamma(t)=\left(t, t^{2}\right) o limite é igual a 0 , no entanto foi visto que o limite nem existe.

Passo 1

O enunciado trata do limite de uma função de duas variáveis
\displaystyle f:D_{f}\subseteq\mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}
no ponto (0,0). Sabemos que, para qualquer reta r parametrizada por
\bigl(x(t),y(t)\bigr)=(m\,t,n\,t) com m^{2}+n^{2}\neq0, vale
\lim_{t\to0}f\bigl(m\,t,n\,t\bigr)=0.
Além disso, existe uma outra curva \gamma\neq r, com \gamma(0)=(0,0), ao longo da qual
\displaystyle \lim_{t\to0}f\bigl(\gamma(t)\bigr)=c.
Queremos concluir o que acontece com
\displaystyle \lim_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y)
nos dois casos: c\neq0 e c=0.

Passo 2

Suponha c\neq0. Para que o limite
\displaystyle L=\lim_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y)
exista, ele teria de ser o mesmo tomando-se qualquer caminho de aproximação. Mas pelas retas r o limite é igual a 0, enquanto pela curva \gamma obtivemos c\neq0. Como 0\neq c, os valores ao longo de duas curvas distintas são diferentes, e portanto não pode haver limite comum.

Passo 3

Suponha c=0. A informação garante que em todas as retas r e nessa curva \gamma o limite vale 0, mas isso não encerra todos os caminhos possíveis em \mathbb{R}^{2}. Pode haver outra curva s ao longo da qual o limite seja diferente de 0. Logo, mesmo sendo todos esses caminhos iguais a zero, isso não basta para concluir que
\displaystyle \lim_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y)
existe.

Resposta

Quando c\neq0, o limite \displaystyle\lim_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y) não existe, pois há pelo menos dois caminhos (as retas e \gamma) com limites distintos.
Quando c=0, não se pode afirmar se o limite existe ou não: saber que várias curvas dão limite zero não impede que haja alguma outra curva cuja aproximação produza valor diferente.

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