Encontre, em cada caso, uma série de potências em x, que represente as funções, encontrando o intervalo de convergência:
f(x)=\ln (3+x).

Passo 1

O enunciado pede para escrever
f(x)=\ln(3+x)
como uma série de potências em x e determinar o intervalo de convergência.
O conteúdo principal é o desenvolvimento em série de Taylor–Maclaurin de \ln(1+t) e propriedades de logaritmo.

Passo 2

Usamos a identidade de logaritmos
\ln(3+x)=\ln3+\ln\bigl(1+\tfrac{x}{3}\bigr).
Dessa forma, reduzimos o problema a desenvolver \ln(1+t) em série, com t=\tfrac{x}{3}.

Passo 3

Sabemos que, para \lvert t\rvert<1, vale a série de Maclaurin
\ln(1+t)=\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\,\frac{t^n}{n}.

Passo 4

Substituindo t=\tfrac{x}{3} na série acima, obtemos
\ln\bigl(1+\tfrac{x}{3}\bigr) =\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\,\frac{1}{n}\Bigl(\tfrac{x}{3}\Bigr)^n =\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\,\frac{x^n}{n\,3^n}.
Logo
\ln(3+x) =\ln3+\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\,\frac{x^n}{n\,3^n}.

Passo 5

O raio de convergência vem da condição \lvert x/3\rvert<1, ou seja \lvert x\rvert<3.
Verificando os extremos:
– Para x=3, a série fica \ln3+\sum_{n=1}^\infty(-1)^{n+1}/n=\ln3+\ln2=\ln6, converge (alternada).
– Para x=-3, a série torna-se \ln3+\sum(-1)/n, que diverge pelo teste da série harmônica.
Portanto o intervalo de convergência é
-3<x\le3.

Resposta

\boxed{\ln(3+x)=\ln3+\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n+1}\,\frac{x^n}{n\,3^n},\quad -3<x\le3.}

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