Encontre, em cada caso, uma série de potências em
, que represente as funções, encontrando o intervalo de convergência:
.
Passo 1
O enunciado pede para escrever
como uma série de potências em
e determinar o intervalo de convergência.
O conteúdo principal é o desenvolvimento em série de Taylor–Maclaurin de e propriedades de logaritmo.
O conteúdo principal é o desenvolvimento em série de Taylor–Maclaurin de
Passo 2
Usamos a identidade de logaritmos
Dessa forma, reduzimos o problema a desenvolver
em série, com
.
Passo 3
Sabemos que, para
, vale a série de Maclaurin
Passo 4
Substituindo
na série acima, obtemos
Logo
Passo 5
O raio de convergência vem da condição
, ou seja
.
Verificando os extremos:
– Para , a série fica
, converge (alternada).
– Para , a série torna-se
, que diverge pelo teste da série harmônica.
Portanto o intervalo de convergência é
Verificando os extremos:
– Para
– Para
Portanto o intervalo de convergência é