(2,5 pontos)
Encontre a solução u(x, t) do problema da equação da onda unidimensional
\left\{\begin{array}{l} 9 u_{x x}=u_{t t} \quad \text { se }, 0 \leq x<2, \quad t>0 \\\ u(0, t)=u(2, t)=0 \\\ u(x, 0)=2 x \\\ u_{t}(x, 0)=0 \end{array}\right.
Sabendo que u_{n}(x, t)=\operatorname{sen}\left(\frac{n \pi x}{L}\right) \cos \left(\frac{n \pi a t}{L}\right)

Passo 1

O problema é a equação da onda unidimensional
9\,u_{xx}=u_{tt},\quad 0\le x\le2,\;t>0,
com condições de contorno u(0,t)=u(2,t)=0 e condições iniciais u(x,0)=2x, u_t(x,0)=0.
Para resolver, usamos separação de variáveis e expansão em série de Fourier usando funções próprias \sin\bigl(\tfrac{n\pi x}{L}\bigr) com L=2.

Passo 2

Pela separação de variáveis temos o modo geral
u(x,t)=\sum_{n=1}^{\infty}\Bigl(A_n\sin\bigl(\tfrac{n\pi x}{2}\bigr)\cos\bigl(\tfrac{n\pi a\,t}{2}\bigr) +B_n\sin\bigl(\tfrac{n\pi x}{2}\bigr)\sin\bigl(\tfrac{n\pi a\,t}{2}\bigr)\Bigr),
onde a velocidade de propagação a vem de u_{tt}=a^2u_{xx}, logo a=3.

Passo 3

Impondo u(x,0)=2x e u_t(x,0)=0 obtemos
u(x,0)=\sum_{n=1}^\infty A_n\sin\bigl(\tfrac{n\pi x}{2}\bigr)=2x, \qquad u_t(x,0)=\sum_{n=1}^\infty B_n\,\tfrac{3n\pi}{2}\,\sin\bigl(\tfrac{n\pi x}{2}\bigr)=0.
Da segunda condição segue B_n=0. O coeficiente A_n é dado pela série de Fourier seno em [0,2]:
A_n=\frac{2}{L}\int_{0}^{L}2x\sin\bigl(\tfrac{n\pi x}{L}\bigr)\,dx \quad\text{com }L=2.

Passo 4

Calculamos
I=\int_{0}^{2}x\sin\bigl(\tfrac{n\pi x}{2}\bigr)\,dx
por partes: u=x, dv=\sin(\alpha x)\,dx com \alpha=\tfrac{n\pi}{2}. O resultado é
I=-\frac{2(-1)^n}{\alpha} =-\frac{2(-1)^n}{\,\tfrac{n\pi}{2}\,} =-\frac{4(-1)^n}{n\pi}.
Como A_n=2\cdot I, segue
A_n=-\frac{8(-1)^n}{n\pi} =\frac{8(-1)^{n+1}}{n\pi}.

Passo 5

Substituindo em cada modo e lembrando B_n=0 e a=3, obtemos a solução
u(x,t) =\sum_{n=1}^{\infty}\frac{8(-1)^{n+1}}{n\pi} \sin\!\bigl(\tfrac{n\pi x}{2}\bigr)\, \cos\!\bigl(\tfrac{3n\pi t}{2}\bigr).

Resposta

u(x,t) =\sum_{n=1}^{\infty}\frac{8(-1)^{n+1}}{n\pi} \sin\!\Bigl(\frac{n\pi x}{2}\Bigr) \cos\!\Bigl(\frac{3n\pi t}{2}\Bigr).

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