Use séries de potências para resolver, em cada caso, o problema de valor inicial:
.
Passo 1
O enunciado pede para resolver, via séries de potências em torno de
, o problema de valor inicial
O conteúdo aqui é a técnica de série de potências (ou expansão de Maclaurin) para obter uma solução em série e depois reconhecer a soma.
Passo 2
Assumimos que a solução pode ser escrita como
Então
Reindexando a soma de
para potências de
, basta trocar
:
Passo 3
Substituindo em
, obtemos
Como a soma deve ser nula para todo
, os coeficientes satisfazem
As condições iniciais dizem que
Passo 4
Usando a recorrência, vemos que os coeficientes pares e ímpares são
Logo a série é