Use séries de potências para resolver, em cada caso, o problema de valor inicial:
y^{\prime \prime}-y=0, \quad y(0)=1, y^{\prime}(0)=2.

Passo 1

O enunciado pede para resolver, via séries de potências em torno de x=0, o problema de valor inicial
y'' - y = 0,\quad y(0)=1,\;y'(0)=2.
O conteúdo aqui é a técnica de série de potências (ou expansão de Maclaurin) para obter uma solução em série e depois reconhecer a soma.

Passo 2

Assumimos que a solução pode ser escrita como
y(x) = \sum_{n=0}^{\infty}a_n x^n.
Então
y''(x) = \sum_{n=2}^{\infty}n(n-1)\,a_n x^{n-2}.
Reindexando a soma de y'' para potências de x^n, basta trocar n\to n+2:
y''(x) = \sum_{n=0}^{\infty}(n+2)(n+1)\,a_{n+2}x^n.

Passo 3

Substituindo em y''-y=0, obtemos
\sum_{n=0}^{\infty}\bigl[(n+2)(n+1)a_{n+2}-a_n\bigr]x^n = 0.
Como a soma deve ser nula para todo x, os coeficientes satisfazem
(n+2)(n+1)\,a_{n+2}-a_n = 0 \quad\Longrightarrow\quad a_{n+2} = \frac{a_n}{(n+2)(n+1)}.
As condições iniciais dizem que
a_0 = y(0)=1, \quad y'(x)=\sum_{n=1}^\infty n\,a_n x^{n-1} \;\Longrightarrow\; a_1 = y'(0)=2.

Passo 4

Usando a recorrência, vemos que os coeficientes pares e ímpares são
a_{2k} = \frac{a_0}{(2k)!} = \frac{1}{(2k)!}, \qquad a_{2k+1} = \frac{a_1}{(2k+1)!} = \frac{2}{(2k+1)!}.
Logo a série é
y(x) = \sum_{k=0}^\infty \frac{x^{2k}}{(2k)!} + 2\sum_{k=0}^\infty \frac{x^{2k+1}}{(2k+1)!} = \operatorname{cosh} x + 2\,\operatorname{sinh} x.

Resposta

y(x) = \operatorname{cosh} x + 2\,\operatorname{sinh} x.

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