Estabeleça se cada uma das sequências indicadas converge ou diverge e, se convergir, determine o limite.
a_{n}=\frac{1+(-1)^{n}}{n}.

Passo 1

O enunciado nos dá a sequência
a_{n} = \frac{1 + (-1)^{n}}{n},
e pede para determinar se ela converge ou diverge e, em caso de convergência, encontrar seu limite. O conteúdo envolvido é limite de sequência numérica, que podemos analisar por casos (subsequências) ou pelo critério de confronto (squeeze).

Passo 2

Observe que (-1)^{n} assume apenas os valores \pm1. Assim há dois casos:
  1. Se n é par, digamos n=2k, então (-1)^{n}=1 e
a_{2k} = \frac{1 + 1}{2k} = \frac{2}{2k} = \frac{1}{k}.
  1. Se n é ímpar, digamos n=2k+1, então (-1)^{n}=-1 e
a_{2k+1} = \frac{1 - 1}{2k+1} = 0.

Passo 3

Agora avaliamos o limite de cada caso quando k \to \infty:
  • Para os termos pares:
\lim_{k\to\infty} a_{2k} = \lim_{k\to\infty} \frac{1}{k} = 0.
  • Para os termos ímpares:
\lim_{k\to\infty} a_{2k+1} = \lim_{k\to\infty} 0 = 0.
Como ambas as subsequências convergem para o mesmo valor 0, a sequência inteira (a_n) converge para 0.

Passo 4

Alternativamente, note que para todo n vale
\bigl|a_n\bigr| = \left|\frac{1 + (-1)^{n}}{n}\right| \le \frac{2}{n},
e como \lim_{n\to\infty} \tfrac{2}{n}=0, pelo Teorema do Confronto segue que \lim_{n\to\infty}a_n=0.

Resposta

A sequência converge e
\lim_{n\to\infty} a_n = 0.

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