Encontre cada derivada parcial pela aplicação direta da definição formal.
\frac{\partial}{\partial x} f(x, y), onde f(x, y)=3 x^{2}+5 x y+7 y^{3}.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a derivada parcial em relação a x de uma função de duas variáveis. Informações dadas:
  • A função é f(x,y)=3x^{2}+5xy+7y^{3}.
  • Deve ser usada a definição formal (limite) da derivada parcial em x.
    O que se quer: calcular \dfrac{\partial}{\partial x}f(x,y).

Passo 2

Escrevendo a definição formal da derivada parcial em x: \frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h,y)-f(x,y)}{h}.
Explicação rápida do que isso significa: varia-se x por um incremento h enquanto y é mantido fixo; o quociente dá a taxa de variação de f em relação a x e o limite quando h\to0 dá a derivada parcial.

Passo 3

Calcular f(x+h,y) substituindo x por x+h e expandindo passo a passo. Primeiro, (x+h)^{2}=x^{2}+2xh+h^{2}. Então: f(x+h,y)=3(x+h)^{2}+5(x+h)y+7y^{3}.
Agora expandir os termos: f(x+h,y)=3\bigl(x^{2}+2xh+h^{2}\bigr)+5xy+5hy+7y^{3}.
Continuando a expansão: f(x+h,y)=3x^{2}+6xh+3h^{2}+5xy+5hy+7y^{3}.

Passo 4

Formar a diferença f(x+h,y)-f(x,y). Lembrando que f(x,y)=3x^{2}+5xy+7y^{3}, temos: \begin{aligned} f(x+h,y)-f(x,y)&=\bigl(3x^{2}+6xh+3h^{2}+5xy+5hy+7y^{3}\bigr)\\\ &\quad -\bigl(3x^{2}+5xy+7y^{3}\bigr). \end{aligned}
Ao cancelar os termos iguais, sobra: f(x+h,y)-f(x,y)=6xh+3h^{2}+5hy.
Fatorando h: f(x+h,y)-f(x,y)=h\bigl(6x+3h+5y\bigr).

Passo 5

Dividir pela diferença h e aplicar o limite da definição: \frac{f(x+h,y)-f(x,y)}{h}=6x+3h+5y.
Tomando o limite quando h\to0: \lim_{h\to0}\bigl(6x+3h+5y\bigr)=6x+5y,
pois 3h\to0 quando h\to0. Assim obtemos o valor da derivada parcial por definição.

Passo 6

Observação extra (checagem rápida): como y é tratado como constante, pode-se também derivar termo a termo: a derivada de 3x^{2} em relação a x é 6x; a de 5xy é 5y (pois 5y é constante frente a x); a de 7y^{3} é 0. Soma: 6x+5y. Isso confirma o resultado obtido pela definição.

Resposta

\dfrac{\partial f}{\partial x}(x,y)=6x+5y

Exercícios relacionados