Encontre cada derivada parcial pela aplicação direta da definição formal.
, onde
.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar a derivada parcial em relação a
de uma função de duas variáveis. Informações dadas:
- A função é
. - Deve ser usada a definição formal (limite) da derivada parcial em
.
O que se quer: calcular.
Passo 2
Escrevendo a definição formal da derivada parcial em
:
Explicação rápida do que isso significa: varia-se
por um incremento
enquanto
é mantido fixo; o quociente dá a taxa de variação de
em relação a
e o limite quando
dá a derivada parcial.
Passo 3
Calcular
substituindo
por
e expandindo passo a passo. Primeiro,
. Então:
Agora expandir os termos:
Continuando a expansão:
Passo 4
Formar a diferença
. Lembrando que
, temos:
Ao cancelar os termos iguais, sobra:
Fatorando
:
Passo 5
Dividir pela diferença
e aplicar o limite da definição:
Tomando o limite quando
:
pois
quando
. Assim obtemos o valor da derivada parcial por definição.
Passo 6
Observação extra (checagem rápida): como
é tratado como constante, pode-se também derivar termo a termo: a derivada de
em relação a
é
; a de
é
(pois
é constante frente a
); a de
é
. Soma:
. Isso confirma o resultado obtido pela definição.