Prova 1\left({ }^{1}\right)\left({ }^{2}\right)

As sequencías \left(x_{n}\right) e \left(a_{n}\right) dadas por x_{n}=\frac{n t}{2^{n}} e a_{n}=\frac{(-1)^{n}}{\sqrt{n}}.
\sum_{n=1}^{+\infty} x_{n} e \sum_{n=1}^{+\infty} a_{n} convergem ou divergem? Se alguma delas for convergente, é absolutamente convergente? E seu limite.

Passo 1

O enunciado nos dá as duas sequências (os termos das séries) e pede para cada série responder: converge ou diverge? Se convergente, é absolutamente convergente? E qual é o limite (soma) da série. Os dados são:
  • Para todo n\ge1: x_{n}=\dfrac{n t}{2^{n}}.
  • Para todo n\ge1: a_{n}=\dfrac{(-1)^{n}}{\sqrt{n}}.
    As perguntas que precisamos responder são, para cada série \sum_{n=1}^{\infty} x_{n} e \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}:
  1. A série converge ou diverge?
  2. Se converge: converge absolutamente?
  3. Qual é a soma (o limite dos somatórios parciais)?

Passo 2

Análise geral útil (uma ferramenta que vou usar para a primeira série): a soma da série de potências geométrica e sua derivada. A série geométrica é, para |x|<1,
\sum_{n=0}^{\infty} x^{n}=\frac{1}{1-x}.
Explico por que: cada termo é x^{n} e quando |x|<1 a soma converge para essa fração (pode verificar multiplicando ambos os lados por 1-x). Agora, derrubo essa igualdade em termos de manipulação que dá a soma \sum n x^{n}. Diferenciando termo a termo (válido para |x|<1) obtemos
\sum_{n=1}^{\infty} n x^{n-1}=\frac{1}{(1-x)^{2}}.
Multiplicando por x vem
\sum_{n=1}^{\infty} n x^{n}=\frac{x}{(1-x)^{2}},\qquad\text{para }|x|<1.
Aqui x é a variável da série geométrica; a fórmula vale sempre que |x|<1. Vou usar isso com x=\tfrac12.

Passo 3

Aplicando a fórmula ao caso x=\tfrac{1}{2}: temos
\sum_{n=1}^{\infty} n\left(\tfrac{1}{2}\right)^{n}=\frac{\tfrac{1}{2}}{(1-\tfrac{1}{2})^{2}}=\frac{\tfrac{1}{2}}{(\tfrac{1}{2})^{2}}=\frac{\tfrac{1}{2}}{\tfrac{1}{4}}=2.
Agora observe que x_{n}=\dfrac{n t}{2^{n}}=t\cdot n\left(\tfrac{1}{2}\right)^{n}. Como multiplicar todos os termos de uma série convergente por uma constante só multiplica a soma por essa constante, concluímos
\sum_{n=1}^{\infty} x_{n}=t\sum_{n=1}^{\infty} n\left(\tfrac{1}{2}\right)^{n}=t\cdot 2=2t.
Portanto a série \sum x_{n} converge sempre (para todo t\in\mathbb{R}) e sua soma é 2t.

Passo 4

Verificação da convergência absoluta da série \sum x_{n}. A série é absolutamente convergente se \sum |x_{n}| converge. Temos
\sum_{n=1}^{\infty} |x_{n}|=\sum_{n=1}^{\infty}\left|\dfrac{n t}{2^{n}}\right|=|t|\sum_{n=1}^{\infty} n\left(\tfrac{1}{2}\right)^{n}=|t|\cdot 2,
que é finito. Logo \sum x_{n} é absolutamente convergente (para todo t), e sua soma absoluta é 2|t| quando se conta a soma de |x_n|. Conclusão para a primeira série: converge absolutamente e a soma (do somatório com sinais) é 2t.

Passo 5

Agora cuido da série \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} com a_{n}=\dfrac{(-1)^{n}}{\sqrt{n}}. Primeiro, verifico as condições do critério de Leibniz (teste das séries alternadas): esse critério diz que a série \sum (-1)^{n} b_n converge se
(i) b_n\ge0 para todo n,
(ii) b_n é monótona decrescente para n suficientemente grande,
(iii) \lim_{n\to\infty} b_n = 0.
Aqui tomo b_n=\dfrac{1}{\sqrt{n}}. Claramente b_n>0 e \lim_{n\to\infty} b_n=0 porque \sqrt{n}\to\infty. Também b_{n+1}=\dfrac{1}{\sqrt{n+1}}<\dfrac{1}{\sqrt{n}}=b_n, então (b_n) é monotonamente decrescente. Todas as hipóteses do critério de Leibniz são satisfeitas, logo
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{\sqrt{n}}
converge. Essa convergência, obtida pelo critério de Leibniz, é chamada de convergência condicional (ainda vou checar absoluta).

Passo 6

Verificação da convergência absoluta da série \sum a_{n}. A série absoluta seria \sum |a_{n}|=\sum \dfrac{1}{\sqrt{n}}. Esta é uma série do tipo p-série \sum n^{-p} com p=\tfrac{1}{2}. Sabe-se (teste da p-série) que \sum n^{-p} converge se, e somente se, p>1. Aqui p=\tfrac{1}{2}\le1, logo \sum \dfrac{1}{\sqrt{n}} diverge. Uma outra maneira é comparar com a integral \int_{1}^{\infty} n^{-1/2} dn que diverge. Portanto a série dos módulos diverge, isto é, a série não é absolutamente convergente. Como já vimos que converge (por Leibniz) mas não absolutamente, dizemos que ela converge apenas condicionalmente.

Passo 7

Sobre a soma (valor numérico) da série alternada \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{(-1)^{n}}{\sqrt{n}}: o teste de Leibniz garante convergência, mas não fornece uma fórmula elemental para a soma. Essa soma existe (é um número real finito), mas não é dada por uma expressão elementar simples como 2t no caso anterior. Podemos nomeá-la, por exemplo,
S:=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{\sqrt{n}},
e afirmar que S é um número bem definido; porém seu valor não tem uma forma elementar imediata (poderia ser aproximado numericamente se fosse necessário).

Resposta

\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} x_{n} converge absolutamente e \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} x_{n}=2t.
\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} converge (por critério de Leibniz) mas não converge absolutamente (convergência condicional); sua soma é \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{\sqrt{n}}=S (valor numérico não expressável por uma forma elementar simples).

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