Encontre cada derivada parcial pela aplicação direta da definição formal.
, onde
.
Passo 1
O enunciado pede que eu calcule a derivada parcial em relação a
da função
usando a definição formal. Informações dadas:
- A função é
. - A quantidade solicitada é
, isto é, a derivada parcial de em relação a (mantendo fixo).
Passo 2
Vou escrever a definição formal da derivada parcial em
e explicar o significado de cada símbolo:
Explicação:
-
é um incremento pequeno aplicado somente à coordenada . - Em
a variável foi deslocada por , enquanto permanece exatamente igual (fixo). - A razão
é o quociente de variação de quando se varia por ; levar a zero dá a taxa de variação instantânea de em relação a .
Passo 3
Agora aplico essa definição à função dada. Primeiro calculo
:
Faço a distribuição:
Passo 4
Calculo a diferença
. Como
, temos
Agora simplifico termo a termo, observando que
,
e
se cancelam:
Passo 5
Formo a razão da definição e simplifico:
Como essa expressão é constante (independe de
), o limite quando
é simplesmente
:
Passo 6
Interpretação rápida e incentivo: o resultado é intuitivo —
é linear em
com coeficiente
, então a taxa de variação em
é constante igual a
. Bom trabalho por chegar até aqui; a definição formal sempre dá esse mesmo cálculo passo a passo.