Encontre cada derivada parcial pela aplicação direta da definição formal.
f_{x}(x, y), onde f(x, y)=8 x-2 y+13.

Passo 1

O enunciado pede que eu calcule a derivada parcial em relação a x da função f(x,y)=8x-2y+13 usando a definição formal. Informações dadas:
  • A função é f(x,y)=8x-2y+13.
  • A quantidade solicitada é f_{x}(x,y), isto é, a derivada parcial de f em relação a x (mantendo y fixo).

Passo 2

Vou escrever a definição formal da derivada parcial em x e explicar o significado de cada símbolo:
f_{x}(x,y)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h,y)-f(x,y)}{h}.
Explicação:
  • h é um incremento pequeno aplicado somente à coordenada x.
  • Em f(x+h,y) a variável x foi deslocada por h, enquanto y permanece exatamente igual (fixo).
  • A razão \dfrac{f(x+h,y)-f(x,y)}{h} é o quociente de variação de f quando se varia x por h; levar h a zero dá a taxa de variação instantânea de f em relação a x.

Passo 3

Agora aplico essa definição à função dada. Primeiro calculo f(x+h,y):
f(x+h,y)=8(x+h)-2y+13.
Faço a distribuição:
f(x+h,y)=8x+8h-2y+13.

Passo 4

Calculo a diferença f(x+h,y)-f(x,y). Como f(x,y)=8x-2y+13, temos
f(x+h,y)-f(x,y)=(8x+8h-2y+13)-(8x-2y+13).
Agora simplifico termo a termo, observando que 8x, -2y e +13 se cancelam:
f(x+h,y)-f(x,y)=8h.

Passo 5

Formo a razão da definição e simplifico:
\frac{f(x+h,y)-f(x,y)}{h}=\frac{8h}{h}=8\qquad (h\neq 0).
Como essa expressão é constante (independe de h), o limite quando h\to 0 é simplesmente 8:
f_{x}(x,y)=\lim_{h\to 0}8=8.

Passo 6

Interpretação rápida e incentivo: o resultado é intuitivo — f é linear em x com coeficiente 8, então a taxa de variação em x é constante igual a 8. Bom trabalho por chegar até aqui; a definição formal sempre dá esse mesmo cálculo passo a passo.

Resposta

f_{x}(x,y)=8

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