Encontre cada derivada parcial pela aplicação direta da definição formal.
f_{2}(1,-1), onde f(x, y)=5 x y^{3}+6 x^{2}+11.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada parcial de segunda componente no ponto (1,-1), ou seja f_{2}(1,-1), usando a definição formal. As informações que temos:
  • A função é f(x,y)=5 x y^{3}+6 x^{2}+11.
  • O ponto onde queremos a derivada parcial é (a,b)=(1,-1).
  • Precisamos aplicar a definição formal de derivada parcial em relação à segunda variável (a variável y), mantendo x fixo em 1.

Passo 2

Escrevendo a definição formal da derivada parcial de f em relação a y no ponto (a,b):
f_{2}(a,b)=\lim_{h\to0}\frac{f(a,b+h)-f(a,b)}{h}.
Explicação dessa fórmula passo a passo:
  • a é o valor fixo de x (aqui a=1).
  • b é o valor de y em que avaliamos (aqui b=-1).
  • h é um incremento pequeno em y; a razão de diferenças divide pela variação h.
  • Mantemos x=a fixo e só variamos y para medir a taxa de variação de f em direção ao y.

Passo 3

Calcular f(1,-1) explicitamente (isso serve para o numerador da diferença):
f(1,-1)=5\cdot 1\cdot(-1)^{3}+6\cdot 1^{2}+11.
Agora as contas:
(-1)^{3}=-1,\qquad 5\cdot1\cdot(-1)=-5,
6\cdot1^{2}=6,
f(1,-1)=-5+6+11=12.

Passo 4

Calcular f(1,-1+h). Substituímos x=1 e y=-1+h em f:
f(1,-1+h)=5\cdot 1\cdot(-1+h)^{3}+6\cdot 1^{2}+11.
Expandimos o cubo (-1+h)^{3} usando a fórmula do binômio:
(-1+h)^{3}=(-1)^{3}+3(-1)^{2}h+3(-1)h^{2}+h^{3}=-1+3h-3h^{2}+h^{3}.
Multiplicando por 5 e somando os termos constantes:
5(-1+h)^{3}=-5+15h-15h^{2}+5h^{3},
f(1,-1+h)=(-5+15h-15h^{2}+5h^{3})+6+11.
Como 6+11=17, temos
f(1,-1+h)=12+15h-15h^{2}+5h^{3}.

Passo 5

Formar o quociente de diferença da definição e simplificar:
\frac{f(1,-1+h)-f(1,-1)}{h}=\frac{(12+15h-15h^{2}+5h^{3})-12}{h}.
Cancelando o 12 e fatorando h:
\frac{15h-15h^{2}+5h^{3}}{h}=\frac{h(15-15h+5h^{2})}{h}=15-15h+5h^{2},
válido para h\neq0.

Passo 6

Agora tomamos o limite quando h\to0:
f_{2}(1,-1)=\lim_{h\to0}\bigl(15-15h+5h^{2}\bigr)=15.
Comentário de verificação (opcional, só para conferir): derivando diretamente em y temos \partial f/\partial y=5x\cdot 3y^{2}=15xy^{2}; avaliando em (1,-1) 15\cdot 1\cdot(-1)^{2}=15, mesmo resultado.

Resposta

f_{2}(1,-1)=15

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