Encontre cada derivada parcial pela aplicação direta da definição formal.
, onde
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a derivada parcial de segunda componente no ponto
, ou seja
, usando a definição formal. As informações que temos:
- A função é
. - O ponto onde queremos a derivada parcial é
. - Precisamos aplicar a definição formal de derivada parcial em relação à segunda variável (a variável
), mantendo fixo em .
Passo 2
Escrevendo a definição formal da derivada parcial de
em relação a
no ponto
:
Explicação dessa fórmula passo a passo:
-
é o valor fixo de (aqui ). -
é o valor de em que avaliamos (aqui ). -
é um incremento pequeno em ; a razão de diferenças divide pela variação . - Mantemos
fixo e só variamos para medir a taxa de variação de em direção ao .
Passo 3
Calcular
explicitamente (isso serve para o numerador da diferença):
Agora as contas:
Passo 4
Calcular
. Substituímos
e
em
:
Expandimos o cubo
usando a fórmula do binômio:
Multiplicando por
e somando os termos constantes:
Como
, temos
Passo 5
Formar o quociente de diferença da definição e simplificar:
Cancelando o
e fatorando
:
válido para
.
Passo 6
Agora tomamos o limite quando
:
Comentário de verificação (opcional, só para conferir): derivando diretamente em
temos
; avaliando em
dá
, mesmo resultado.