Considere o problema de Dirichlet no retângulo:
lll ux x(x, y)+uy y(x, y)=0, & & 0
Encontre uma solução geral deste problema.

Passo 1

A gente tem um problema de Dirichlet para a equação de Laplace num retângulo 0<x<a, 0<y<b, com u(0,y)=h(y), u(a,y)=0, u(x,0)=u(x,b)=0. O conteúdo aqui é método de separação de variáveis e séries de Fourier para resolver Laplace com contorno não homogêneo num lado.

Passo 2

Assumimos a forma de produto u(x,y)=X(x)Y(y). Substituindo em u_{xx}+u_{yy}=0 dá X’’(x)Y(y)+X(x)Y’’(y)=0, ou seja X’’/X=-Y’’/Y=λ, uma constante de separação.

Passo 3

Para Y(y), temos Y’’+λY=0 com Y(0)=Y(b)=0. Isso só tem solução não trivial para λ_n=(nπ/b)^2, e os auto
funções são Y_n(y)=sin(nπy/b).

Passo 4

Para X_n(x), a equação é X_n’’-λ_nX_n=0, com λ_n=(nπ/b)^2. A solução geral é X_n(x)=C e{λ_n{1/2}x}+D e{-λ_n{1/2}x}. Impor X_n(a)=0 leva a D=-C e{2λ_n{1/2}a}, e então X_n(x)=A_n sinh(λ_n^{1/2}(a-x)), onde λ_n^{1/2}=nπ/b.

Passo 5

A solução geral é a soma das modos: u(x,y)=Σ_{n=1}^∞ A_n sinh((nπ/b)(a-x)) sin(nπy/b). Para achar A_n usamos u(0,y)=h(y)=Σ A_n sinh(nπa/b) sin(nπy/b) e a ortogonalidade de senos em [0,b]. Assim
An=2bsinhl(tfracnpi abr)integral0^b h(eta)sinl(tfracnpietabr),deta

Resposta

u(x,y)=sumn=1^infty [2bsinhl(tfracnpi abr)integral0^b h(eta)sinl(tfracnpietabr),deta]sinhl(tfracnpi(a-x)br)sinl(tfracnpi ybr)

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