Encontre a solução geral das seguintes equações diferenciais, usando o Método dos Coeficientes a Determinar:
y^prime prime-5 y^prime+6 y=e^x cos (2 x)+e^2 x(3 x+4) sen x

Passo 1

Resumo do enunciado e estratégia: temos a EDO linear de segunda ordem não homogênea
y''-5y'+6y=e^xcos2x+e^2x(3x+4)sin x. O conteúdo é o método dos coeficientes a determinar. Vamos buscar a solução geral na forma y=yh+yp, onde yh é a solução da homogênea e yp é a combinação de particulares para cada termo do segundo membro.

Passo 2

Solução da homogênea: escrevemos a equação característica r^2-5r+6=0, cujas raízes são r=2 e r=3. Logo a solução homogênea é yh=C1e^2x+C2e^3x. Para a parte particular definimos yp=yp1+yp2, correspondendo a cada termo não homogêneo.

Passo 3

Parte particular para e^xcos2x: assumimos yp1=e^x(Acos2x+Bsin2x). Calculamos implicitamente L[yp1]=y''-5y'+6y=e^x[(-2A-6B)cos2x+(6A-2B)sin2x] e igualamos a e^xcos2x. Assim obtemos o sistema
-2A-6B=1,6A-2B=0.
Resolvendo vem A=-tfrac120, B=-tfrac320. Portanto
yp1=-tfrac120e^x(cos2x+3sin2x).

Passo 4

Parte particular para e^2x(3x+4)sin x: assumimos
yp2=e^2xl[(P x+Q)cos x+(R x+S)sin xr].
Definindo U=(P x+Q)cos x+(R x+S)sin x, nota-se que L[yp2]=e^2x(U''-U'). Calculando U' e U'' e igualando U''-U'=(3x+4)sin x gera o sistema
P+R=0, P-R=3,2R-P-Q-S=0, Q-2P-R-S=4.
Dessa forma P=tfrac32, R=-tfrac32, Q=tfrac12, S=-5. Logo
yp2=e^2xl[(tfrac32x+tfrac12)cos x+(-tfrac32x-5)sin xr].

Passo 5

Solução geral: somamos yh e as partes particulares yp1 e yp2.

Resposta

y=C1e^2x+C2e^3x-tfrac120e^x(cos2x+3sin2x)+e^2xl[(tfrac32x+tfrac12)cos x-(tfrac32x+5)sin xr]

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