Encontre a solução geral das seguintes equações diferenciais, usando o Método dos Coeficientes a Determinar:
Passo 1
Resumo do enunciado e estratégia: temos a EDO linear de segunda ordem não homogênea
. O conteúdo é o método dos coeficientes a determinar. Vamos buscar a solução geral na forma
, onde
é a solução da homogênea e
é a combinação de particulares para cada termo do segundo membro.
Passo 2
Solução da homogênea: escrevemos a equação característica
, cujas raízes são
e
. Logo a solução homogênea é
. Para a parte particular definimos
, correspondendo a cada termo não homogêneo.
Passo 3
Parte particular para
: assumimos
. Calculamos implicitamente
e igualamos a
. Assim obtemos o sistema
.
Resolvendo vem ,
. Portanto
.
Resolvendo vem
Passo 4
Parte particular para
: assumimos
.
Definindo , nota-se que
. Calculando
e
e igualando
gera o sistema
.
Dessa forma ,
,
,
. Logo
.
Definindo
Dessa forma
Passo 5
Solução geral: somamos
e as partes particulares
e
.