Encontre a solução das seguintes equações de Euler, considerando os dados inicias.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação de Euler-Cauchy
com as condições iniciais
e
. Este tipo de equação a gente resolve supondo uma solução da forma
.
Passo 2
Assumimos
. Então
Substituindo na equação original:
Fatorando
(que é não nulo para a solução), chegamos à equação característica.
Passo 3
A equação característica fica
que simplifica para
Resolvendo-a (discriminante
), obtemos
isto é,
e
.
Passo 4
Daí a solução geral da equação é
Para impor as condições, calculamos
Passo 5
Agora usamos
:
Isso forma um sistema linear em
.
Passo 6
Resolvendo
somamos as duas equações (eliminando
) e achamos
. Então
.
Resposta
A solução que satisfaz as condições é
.