Encontre a solução das seguintes equações de Euler, considerando os dados inicias.
a) l 2 x^2 y^prime prime+x y^prime-3 y=0 y(1)=1, y^prime(1)=4

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação de Euler-Cauchy
2x^2y'' + x y' - 3y = 0
com as condições iniciais
y(1)=1 e y'(1)=4. Este tipo de equação a gente resolve supondo uma solução da forma y=x^r.

Passo 2

Assumimos y=x^r. Então
y' = r x^r-1,
y'' = r(r-1)x^r-2
Substituindo na equação original:
2x^2l[r(r-1)x^r-2r] + xl[r x^r-1r] - 3x^r = 0
Fatorando x^r (que é não nulo para a solução), chegamos à equação característica.

Passo 3

A equação característica fica
2r(r-1) + r - 3 = 0
que simplifica para
2r^2 - r - 3 = 0
Resolvendo-a (discriminante 1+24=25), obtemos
r = 1 pm 54,
isto é, r1=3/2 e r2=-1.

Passo 4

Daí a solução geral da equação é
y(x) = C1 x^3/2 + C2 x^-1
Para impor as condições, calculamos
y'(x) = 32C1 x^1/2 - C2 x^-2

Passo 5

Agora usamos x=1:
y(1)=C1 + C2 = 1,
y'(1)= 32C1 - C2 = 4
Isso forma um sistema linear em C1,C2.

Passo 6

Resolvendo
C1 + C2 = 1, 32C1 - C2 = 4,
somamos as duas equações (eliminando C2) e achamos C1=2. Então C2=1-2=-1.

Resposta

A solução que satisfaz as condições é y(x)=2x^3/2-x^-1.

Exercícios relacionados