(a) Encontre cada limite, ou explique por que ele não existe e avalie a função onde se pede.
i. \lim _{x \rightarrow 2^{+}} f(x)
ii. \lim _{x \rightarrow 2^{-}} f(x)
iii. f(2)
iv. \lim _{x \rightarrow 2} f(x)
v. \lim _{x \rightarrow 0} f(x)
vi. \lim _{x \rightarrow-3^{+}} f(x)
vii. \lim _{x \rightarrow-3} f(x)
viii. \lim _{x \rightarrow 4} f(x)
ix. f(4)
x. \lim _{x \rightarrow \infty} f(x)
xi. \lim _{x \rightarrow-\infty} f(x)
(b) Dê as equações das assíntotas horizontais.
(c) Dê as equações das assíntotas verticais.

Passo 1

O enunciado pede várias coisas sobre a função f:
(a) i. \lim_{x\to 2^{+}} f(x)
(a) ii. \lim_{x\to 2^{-}} f(x)
(a) iii. f(2)
(a) iv. \lim_{x\to 2} f(x)
(a) v. \lim_{x\to 0} f(x)
(a) vi. \lim_{x\to -3^{+}} f(x)
(a) vii. \lim_{x\to -3} f(x)
(a) viii. \lim_{x\to 4} f(x)
(a) ix. f(4)
(a) x. \lim_{x\to \infty} f(x)
(a) xi. \lim_{x\to -\infty} f(x)
(b) Equações das assíntotas horizontais.
(c) Equações das assíntotas verticais.
Informação fornecida pelo enunciado: o enunciado tal como você enviou não contém o gráfico, tabela ou expressão analítica da função f. Como muitas dessas perguntas dependem de como f se comporta em pontos e nas proximidades de certos valores, a figura ou a fórmula de f é necessária para obter respostas numéricas/visuais precisas.

Passo 2

Por que não dá para calcular com o que foi enviado: limites laterais, valores da função em pontos e assíntotas dependem de detalhes da forma da curva (por exemplo: pontos com bolinhas preenchidas/abertas, comportamentos verticais tipo \pm\infty, tendência para y= constante quando x\to\pm\infty, etc.). Sem o gráfico ou expressão de f não há informação suficiente para determinar qualquer um dos itens de (a), (b) ou (c). Então, não é possível fornecer os valores numéricos ou as equações pedidas a partir do enunciado incompleto.

Passo 3

Mas vamos transformar esse contratempo em oportunidade: vou te ensinar passo a passo como você deve proceder ao ver o gráfico (ou tabela/fórmula) da função para responder cada item na prova — assim você resolve rapidinho quando tiver o gráfico na frente.
  1. Como encontrar \lim_{x\to a^{+}} f(x) (limite pela direita): olhe para o gráfico para valores de x ligeiramente maiores que a e veja para qual y a curva se aproxima quando x se aproxima de a vindo da direita. Se os pontos vão aproximando um valor finito L, então \lim_{x\to a^{+}} f(x)=L. Se os valores crescem sem limite positivo/negativo, falamos que o limite é +\infty ou -\infty. Se os valores oscilam sem convergir, o limite não existe.
  2. Como encontrar \lim_{x\to a^{-}} f(x) (limite pela esquerda): mesma ideia, mas aproximando a por valores menores que a.
  3. Como avaliar f(a): veja se no ponto x=a existe um ponto marcado no gráfico. Se houver uma bolinha preenchida em (a,b), então f(a)=b. Se houver apenas um círculo aberto em (a,b), então f(a) não é igual a b — pode ser que f(a) esteja ausente ou definido como outro valor (às vezes há uma bolinha preenchida em outra altura indicando valor definido diferente).
  4. Como determinar \lim_{x\to a} f(x) (limite bilateral): calcule ambos os limites laterais. Se \lim_{x\to a^{+}} f(x) e \lim_{x\to a^{-}} f(x) existirem e forem iguais a um mesmo L, então \lim_{x\to a} f(x)=L. Caso contrário, o limite bilateral não existe.
  5. Limites em pontos onde a função tende a infinito: se, ao aproximar x de a, f(x) cresce sem limite (positiva ou negativamente), descrevemos \lim_{x\to a} f(x)=+\infty ou -\infty. No gráfico isso aparece como uma curva que sobe ou desce verticalmente para fora do papel.
  6. Limites quando x\to\infty ou x\to-\infty: observe a tendência da curva para valores grandes positivos/negativos de x. Se a curva se aproxima de uma constante L, então \lim_{x\to\infty} f(x)=L (isto é uma assíntota horizontal y=L). Se a curva cresce sem limite, o limite é +\infty ou -\infty.
  7. Identificar assíntotas horizontais: calcule
\lim_{x\to\infty} f(x)\quad\text{e}\quad \lim_{x\to -\infty} f(x).
Se algum desses limites for um número finito L, então y=L é uma assíntota horizontal correspondente.
  1. Identificar assíntotas verticais: procure valores a em que f(x) não está definida (buracos no eixo vertical) e tal que \lim_{x\to a^{+}} f(x)=\pm\infty ou \lim_{x\to a^{-}} f(x)=\pm\infty. Nesses casos a reta x=a é uma assíntota vertical.

Passo 4

Vou te dar uma “receita prática” para fazer rápido na prova quando tiver o gráfico:
  • Para cada ponto pedido ( a=2,0,-3,4), desenhe mentalmente duas setas: uma vindo da esquerda e outra da direita. Observe para qual altura y cada uma aponta. Anote as alturas (ou \pm\infty se subir/descer sem limite).
  • Veja se existe uma bolinha preenchida exatamente em x=a; esse é o f(a).
  • Para limites bilaterais, compare as duas alturas: se iguais, esse é o limite; se diferentes, diga “não existe”.
  • Para \lim_{x\to\infty} e \lim_{x\to -\infty}, veja o comportamento da curva nas extremidades do gráfico.
  • Para assíntotas horizontais, traduza limites no infinito em retas y= const. Para verticais, retas x= ponto onde limite lateral é \pm\infty.

Passo 5

Exemplos curtos (não é o seu problema específico, mas servem para treinar o procedimento):
Exemplo A: suponha o gráfico de g(x)=\dfrac{1}{x+3}.
  • Aqui há uma assíntota vertical em x=-3 porque \lim_{x\to -3^{+}} g(x)=+\infty e \lim_{x\to -3^{-}} g(x)=-\infty.
  • Há uma assíntota horizontal em y=0 pois \lim_{x\to\pm\infty} g(x)=0.
Exemplo B: suponha um gráfico com um salto em x=2, onde a parte à esquerda aproxima y=1 e a parte à direita aproxima y=4, e há uma bolinha preenchida em (2,4).
  • Então \lim_{x\to 2^{-}} f(x)=1.
  • \lim_{x\to 2^{+}} f(x)=4.
  • f(2)=4 (pela bolinha preenchida).
  • \lim_{x\to 2} f(x) não existe porque os limites laterais são diferentes.
Esses exemplos mostram como interpretar bolinhas abertas/fechadas e comportamentos laterais.

Passo 6

Dica de resolução rápida na prova (para não perder tempo): ao ver o gráfico, faça uma tabela com colunas: x (pontos de interesse), \lim_{x\to a^-}, \lim_{x\to a^+}, f(a), \lim_{x\to a}. Preencha rápido olhando o gráfico. Para assíntotas, olhe só as extremidades e pontos onde o gráfico “explode” verticalmente.

Passo 7

Conclusão prática para o enunciado que você me enviou: como o gráfico (ou a expressão) de f não foi fornecido, não há como calcular ou inferir numericamente os itens (a)(i–xi), (b) e (c). Se você quiser, cole aqui o gráfico (ou a fórmula de f) e eu resolvo passo a passo aplicando exatamente todos os procedimentos que acabei de ensinar — mas não posso inventar respostas sem os dados.

Resposta

Não é possível determinar os limites, valores de f ou as assíntotas porque o gráfico ou a expressão da função f não foi fornecido no enunciado.

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