(a) Encontre cada limite, ou explique por que ele não existe e avalie a função onde se pede.
i.
ii.
iii.
iv.
v.
vi.
vii.
viii.
ix.
x.
xi.
(b) Dê as equações das assíntotas horizontais.
(c) Dê as equações das assíntotas verticais.
i.
ii.
iii.
iv.
v.
vi.
vii.
viii.
ix.
x.
xi.
(b) Dê as equações das assíntotas horizontais.
(c) Dê as equações das assíntotas verticais.
Passo 1
O enunciado pede várias coisas sobre a função
:
(a) i.
(a) ii.
(a) iii.
(a) iv.
(a) v.
(a) vi.
(a) vii.
(a) viii.
(a) ix.
(a) x.
(a) xi.
(a) i.
(a) ii.
(a) iii.
(a) iv.
(a) v.
(a) vi.
(a) vii.
(a) viii.
(a) ix.
(a) x.
(a) xi.
(b) Equações das assíntotas horizontais.
(c) Equações das assíntotas verticais.
(c) Equações das assíntotas verticais.
Informação fornecida pelo enunciado: o enunciado tal como você enviou não contém o gráfico, tabela ou expressão analítica da função
. Como muitas dessas perguntas dependem de como
se comporta em pontos e nas proximidades de certos valores, a figura ou a fórmula de
é necessária para obter respostas numéricas/visuais precisas.
Passo 2
Por que não dá para calcular com o que foi enviado: limites laterais, valores da função em pontos e assíntotas dependem de detalhes da forma da curva (por exemplo: pontos com bolinhas preenchidas/abertas, comportamentos verticais tipo
, tendência para
constante quando
, etc.). Sem o gráfico ou expressão de
não há informação suficiente para determinar qualquer um dos itens de (a), (b) ou (c). Então, não é possível fornecer os valores numéricos ou as equações pedidas a partir do enunciado incompleto.
Passo 3
Mas vamos transformar esse contratempo em oportunidade: vou te ensinar passo a passo como você deve proceder ao ver o gráfico (ou tabela/fórmula) da função para responder cada item na prova — assim você resolve rapidinho quando tiver o gráfico na frente.
-
Como encontrar
(limite pela direita): olhe para o gráfico para valores de ligeiramente maiores que e veja para qual a curva se aproxima quando se aproxima de vindo da direita. Se os pontos vão aproximando um valor finito , então . Se os valores crescem sem limite positivo/negativo, falamos que o limite é ou . Se os valores oscilam sem convergir, o limite não existe. -
Como encontrar
(limite pela esquerda): mesma ideia, mas aproximando por valores menores que . -
Como avaliar
: veja se no ponto existe um ponto marcado no gráfico. Se houver uma bolinha preenchida em , então . Se houver apenas um círculo aberto em , então não é igual a — pode ser que esteja ausente ou definido como outro valor (às vezes há uma bolinha preenchida em outra altura indicando valor definido diferente). -
Como determinar
(limite bilateral): calcule ambos os limites laterais. Se e existirem e forem iguais a um mesmo , então . Caso contrário, o limite bilateral não existe. -
Limites em pontos onde a função tende a infinito: se, ao aproximar
de , cresce sem limite (positiva ou negativamente), descrevemos ou . No gráfico isso aparece como uma curva que sobe ou desce verticalmente para fora do papel. -
Limites quando
ou : observe a tendência da curva para valores grandes positivos/negativos de . Se a curva se aproxima de uma constante , então (isto é uma assíntota horizontal ). Se a curva cresce sem limite, o limite é ou . -
Identificar assíntotas horizontais: calcule
Se algum desses limites for um número finito
, então
é uma assíntota horizontal correspondente.
- Identificar assíntotas verticais: procure valores
em que não está definida (buracos no eixo vertical) e tal que ou . Nesses casos a reta é uma assíntota vertical.
Passo 4
Vou te dar uma “receita prática” para fazer rápido na prova quando tiver o gráfico:
- Para cada ponto pedido (
), desenhe mentalmente duas setas: uma vindo da esquerda e outra da direita. Observe para qual altura cada uma aponta. Anote as alturas (ou se subir/descer sem limite). - Veja se existe uma bolinha preenchida exatamente em
; esse é o . - Para limites bilaterais, compare as duas alturas: se iguais, esse é o limite; se diferentes, diga “não existe”.
- Para
e , veja o comportamento da curva nas extremidades do gráfico. - Para assíntotas horizontais, traduza limites no infinito em retas
const. Para verticais, retas ponto onde limite lateral é .
Passo 5
Exemplos curtos (não é o seu problema específico, mas servem para treinar o procedimento):
Exemplo A: suponha o gráfico de
.
- Aqui há uma assíntota vertical em
porque e . - Há uma assíntota horizontal em
pois .
Exemplo B: suponha um gráfico com um salto em
, onde a parte à esquerda aproxima
e a parte à direita aproxima
, e há uma bolinha preenchida em
.
- Então
. -
. -
(pela bolinha preenchida). -
não existe porque os limites laterais são diferentes.
Esses exemplos mostram como interpretar bolinhas abertas/fechadas e comportamentos laterais.
Passo 6
Dica de resolução rápida na prova (para não perder tempo): ao ver o gráfico, faça uma tabela com colunas:
(pontos de interesse),
,
,
,
. Preencha rápido olhando o gráfico. Para assíntotas, olhe só as extremidades e pontos onde o gráfico “explode” verticalmente.
Passo 7
Conclusão prática para o enunciado que você me enviou: como o gráfico (ou a expressão) de
não foi fornecido, não há como calcular ou inferir numericamente os itens (a)(i–xi), (b) e (c). Se você quiser, cole aqui o gráfico (ou a fórmula de
) e eu resolvo passo a passo aplicando exatamente todos os procedimentos que acabei de ensinar — mas não posso inventar respostas sem os dados.
Resposta
Não é possível determinar os limites, valores de
ou as assíntotas porque o gráfico ou a expressão da função
não foi fornecido no enunciado.