onde M é a massa da Terra, R é seu raio, e G é a constante gravitacional. F é uma função contínua de r ?
7. Um monge tibetano deixa o monastério às 7 horas da manhã e segue sua caminhada usual para o topo da montanha, chegando lá às 7 horas da noite. Na manhã seguinte, ele parte do topo às 7 horas da manhã, pega o mesmo caminho de volta e chega ao monastério às 7 horas noite. Existe um ponto no caminho que o monge vai cruzar exatamente na mesma hora do dia em ambas as caminhadas?

Passo 1

O enunciado descreve duas caminhadas do mesmo monge pelo mesmo caminho entre o monastério e o topo da montanha:
  • No primeiro dia ele sai do monastério às \,7\\ \text{h} e chega ao topo às \,19\\ \text{h}.
  • No segundo dia ele sai do topo às \,7\\ \text{h} e chega ao monastério às \,19\\ \text{h}.
A pergunta é: existe um ponto do caminho que o monge passa exatamente na mesma hora do dia nas duas caminhadas?
Informações relevantes dadas (listadas claramente):
  • O caminho é o mesmo nos dois dias.
  • Os horários de partida e chegada são os mesmos ( \,7\\ \text{h} e \,19\\ \text{h}).
  • Implícita na situação está a suposição de que a posição do monge varia de forma contínua com o tempo (ele anda e pode parar, mas não teletransporta).

Passo 2

Modelagem matemática simples e intuitiva — transformar o caminho numa escala numérica:
  • Vamos parametrizar o caminho por um número que representa a posição ao longo do trajeto. Seja o ponto inicial (monastério) associado a \,0 e o ponto final (topo) associado a \,1. Assim qualquer ponto do caminho corresponde a um valor em [0,1].
  • Meça o tempo em horas a partir de \,7\\ \text{h}. Ou seja, defina variável de tempo \,t\in[0,12] onde \,t=0 corresponde a \,7\\ \text{h} e \,t=12 corresponde a \,19\\ \text{h}.
  • Defina duas funções que dão a posição ao longo do caminho em função do tempo:
    • \,a(t) = posição do monge no dia da subida (primeiro dia), com \,a(0)=0 e \,a(12)=1.
    • \,b(t) = posição do monge no dia da descida (segundo dia), com \,b(0)=1 e \,b(12)=0.
Expliquei a modelagem passo a passo para que, na prova, você saiba como transformar uma história em funções: escolher uma parametrização do caminho (aqui [0,1]) e medir o tempo num intervalo fixo (aqui [0,12]).

Passo 3

Por que as funções \,a(t) e \,b(t) são contínuas?
  • Conceito curto e prático de continuidade que precisamos aqui: uma função é contínua se pequenas variações no tempo produzem pequenas variações na posição; isto modela bem caminhar (incluir paradas constantes também é contínuo).
  • No contexto físico: o monge não teleporta, então sua posição varia sem saltos; isso justifica assumir que \,a(t) e \,b(t) são funções contínuas em [0,12].
Saber justificar continuidade com essa ideia física é útil na prova: sempre diga por que a variável que descreve a posição não faz saltos.

Passo 4

Construção da função diferença e aplicação da propriedade do valor intermediário:
  • Considere a função \,h(t) = a(t) - b(t). Esta função mede a diferença de posição entre a subida e a descida no mesmo instante \,t.
  • Como diferença de duas funções contínuas, \,h(t) também é contínua em [0,12].
Calcule os valores nos extremos:
  • \,h(0) = a(0) - b(0) = 0 - 1 = -1.
  • \,h(12) = a(12) - b(12) = 1 - 0 = 1.
Temos então \,h(0) = -1 < 0 e \,h(12) = 1 > 0.

Passo 5

Enunciado e uso do Teorema do Valor Intermediário (TVI) — aqui a “aula curta”:
  • Teorema do Valor Intermediário (forma que vamos usar): Se uma função \,f é contínua num intervalo fechado [A,B] e \,f(A) e \,f(B) têm sinais opostos (por exemplo \,f(A)<0 e \,f(B)>0), então existe pelo menos um ponto \,c\in(A,B) tal que \,f\text{(c)}=0.
  • Intuição bem simples: uma curva contínua que começa abaixo do eixo e termina acima do eixo tem que cruzar o eixo em algum ponto; não pode pular do negativo para o positivo sem passar pelo zero.
No nosso caso aplicamos o TVI a \,h(t) no intervalo [0,12]. Como \,h(0)<0 e \,h(12)>0, existe algum \,t^{*}\in(0,12) tal que \,h(t^{*})=0.

Passo 6

Interpretação do resultado no problema:
  • \,h(t^{*})=0 significa \,a(t^{*}) = b(t^{*}). Ou seja, no instante \,t^{*} (que corresponde a uma hora entre \,7\\ \text{h} e \,19\\ \text{h}) o monge está na mesma posição do caminho nos dois dias.
  • Esse ponto \,a(t^{*})\in[0,1] corresponde a um ponto real do caminho (um lugar físico entre monastério e topo) que ele atravessa exatamente na mesma hora em ambas as caminhadas.

Passo 7

Rigorosamente também é possível dar a mesma ideia com um argumento menos “funcional” e mais intuitivo (sort of prova alternativa, boa para provar na prova se você preferir palavras):
  • Imagine dois monges: um reproduz a subida do primeiro dia (parte do monastério às \,7\\ \text{h}) e outro reproduz a descida do segundo dia (parte do topo às \,7\\ \text{h}), e ambos andam ao mesmo cronograma dos respectivos dias. Ambos partem ao mesmo tempo em sentidos opostos pelo mesmo caminho; como um começa em \,0 e o outro em \,1, e um termina em \,1 enquanto o outro termina em \,0, por continuidade eles precisam se encontrar em algum instante entre \,7\\ \text{h} e \,19\\ \text{h}. O ponto de encontro equivale ao ponto que o monge passa à mesma hora nos dois dias.
Esse segundo argumento é frequentemente preferido em provas por ser muito intuitivo e fácil de explicar em palavras.

Passo 8

Respostas a possíveis dúvidas rápidas (pontos que podem aparecer na prova):
  • E se o monge parar por longos períodos? Ainda vale: paradas produzem trechos constantes — ainda é contínuo — e o argumento do TVI permanece válido.
  • E se o monge andou com velocidades diferentes nos dois dias? Sem problema: a argumentação não usa velocidade, só continuidade das trajetórias e as posições nos instantes extremos.
  • Pode haver mais de um ponto assim? Sim: a TVI garante pelo menos um, mas pode haver vários instantes t com a(t)=b(t).

Resposta

Sim. Existe pelo menos um ponto do caminho que o monge cruza exatamente na mesma hora do dia em ambas as caminhadas.

Exercícios relacionados