onde
é a massa da Terra,
é seu raio, e
é a constante gravitacional.
é uma função contínua de
?
7. Um monge tibetano deixa o monastério às 7 horas da manhã e segue sua caminhada usual para o topo da montanha, chegando lá às 7 horas da noite. Na manhã seguinte, ele parte do topo às 7 horas da manhã, pega o mesmo caminho de volta e chega ao monastério às 7 horas noite. Existe um ponto no caminho que o monge vai cruzar exatamente na mesma hora do dia em ambas as caminhadas?
7. Um monge tibetano deixa o monastério às 7 horas da manhã e segue sua caminhada usual para o topo da montanha, chegando lá às 7 horas da noite. Na manhã seguinte, ele parte do topo às 7 horas da manhã, pega o mesmo caminho de volta e chega ao monastério às 7 horas noite. Existe um ponto no caminho que o monge vai cruzar exatamente na mesma hora do dia em ambas as caminhadas?
Passo 1
O enunciado descreve duas caminhadas do mesmo monge pelo mesmo caminho entre o monastério e o topo da montanha:
- No primeiro dia ele sai do monastério às
e chega ao topo às . - No segundo dia ele sai do topo às
e chega ao monastério às .
A pergunta é: existe um ponto do caminho que o monge passa exatamente na mesma hora do dia nas duas caminhadas?
Informações relevantes dadas (listadas claramente):
- O caminho é o mesmo nos dois dias.
- Os horários de partida e chegada são os mesmos (
e ). - Implícita na situação está a suposição de que a posição do monge varia de forma contínua com o tempo (ele anda e pode parar, mas não teletransporta).
Passo 2
Modelagem matemática simples e intuitiva — transformar o caminho numa escala numérica:
-
Vamos parametrizar o caminho por um número que representa a posição ao longo do trajeto. Seja o ponto inicial (monastério) associado a
e o ponto final (topo) associado a . Assim qualquer ponto do caminho corresponde a um valor em . -
Meça o tempo em horas a partir de
. Ou seja, defina variável de tempo onde corresponde a e corresponde a . -
Defina duas funções que dão a posição ao longo do caminho em função do tempo:
-
= posição do monge no dia da subida (primeiro dia), com e . -
= posição do monge no dia da descida (segundo dia), com e .
-
Expliquei a modelagem passo a passo para que, na prova, você saiba como transformar uma história em funções: escolher uma parametrização do caminho (aqui
) e medir o tempo num intervalo fixo (aqui
).
Passo 3
Por que as funções
e
são contínuas?
- Conceito curto e prático de continuidade que precisamos aqui: uma função é contínua se pequenas variações no tempo produzem pequenas variações na posição; isto modela bem caminhar (incluir paradas constantes também é contínuo).
- No contexto físico: o monge não teleporta, então sua posição varia sem saltos; isso justifica assumir que
e são funções contínuas em .
Saber justificar continuidade com essa ideia física é útil na prova: sempre diga por que a variável que descreve a posição não faz saltos.
Passo 4
Construção da função diferença e aplicação da propriedade do valor intermediário:
- Considere a função
. Esta função mede a diferença de posição entre a subida e a descida no mesmo instante . - Como diferença de duas funções contínuas,
também é contínua em .
Calcule os valores nos extremos:
Temos então
e
.
Passo 5
Enunciado e uso do Teorema do Valor Intermediário (TVI) — aqui a “aula curta”:
-
Teorema do Valor Intermediário (forma que vamos usar): Se uma função
é contínua num intervalo fechado e e têm sinais opostos (por exemplo e ), então existe pelo menos um ponto tal que . -
Intuição bem simples: uma curva contínua que começa abaixo do eixo e termina acima do eixo tem que cruzar o eixo em algum ponto; não pode pular do negativo para o positivo sem passar pelo zero.
No nosso caso aplicamos o TVI a
no intervalo
. Como
e
, existe algum
tal que
.
Passo 6
Interpretação do resultado no problema:
-
significa . Ou seja, no instante (que corresponde a uma hora entre e ) o monge está na mesma posição do caminho nos dois dias. -
Esse ponto
corresponde a um ponto real do caminho (um lugar físico entre monastério e topo) que ele atravessa exatamente na mesma hora em ambas as caminhadas.
Passo 7
Rigorosamente também é possível dar a mesma ideia com um argumento menos “funcional” e mais intuitivo (sort of prova alternativa, boa para provar na prova se você preferir palavras):
- Imagine dois monges: um reproduz a subida do primeiro dia (parte do monastério às
) e outro reproduz a descida do segundo dia (parte do topo às ), e ambos andam ao mesmo cronograma dos respectivos dias. Ambos partem ao mesmo tempo em sentidos opostos pelo mesmo caminho; como um começa em e o outro em , e um termina em enquanto o outro termina em , por continuidade eles precisam se encontrar em algum instante entre e . O ponto de encontro equivale ao ponto que o monge passa à mesma hora nos dois dias.
Esse segundo argumento é frequentemente preferido em provas por ser muito intuitivo e fácil de explicar em palavras.
Passo 8
Respostas a possíveis dúvidas rápidas (pontos que podem aparecer na prova):
- E se o monge parar por longos períodos? Ainda vale: paradas produzem trechos constantes — ainda é contínuo — e o argumento do TVI permanece válido.
- E se o monge andou com velocidades diferentes nos dois dias? Sem problema: a argumentação não usa velocidade, só continuidade das trajetórias e as posições nos instantes extremos.
- Pode haver mais de um ponto assim? Sim: a TVI garante pelo menos um, mas pode haver vários instantes
com .
Resposta
Sim. Existe pelo menos um ponto do caminho que o monge cruza exatamente na mesma hora do dia em ambas as caminhadas.