1. Uma fornalha para a produção de cristais é usada em uma pesquisa para determinar a melhor maneira de manufaturar os cristais utilizados em componentes eletrônicos para os veículos espaciais. Para a produção perfeita do cristal, a temperatura deve ser controlada precisamente, ajustando-se a potência de entrada. Suponha que a relação seja dada por
T(w)=0,1 w^{2}+2 w+5
onde T é a temperatura em graus Celsius e w é a potência de entrada em watts.
(a) Qual a potência necessária para manter a temperatura em 200^{\circ} \mathrm{C} ?
(b) Se for permitida uma variação de \pm 1^{\circ} \mathrm{C} a partir dos 200^{\circ} \mathrm{C}, qual será o intervalo de potência permitido para a entrada?
(c) Em termos da definição \epsilon, \delta \operatorname{de}^{\lim _{x \rightarrow a} f(x)=L \text {, o que é } x}é ? O que é f(x) ? O que é a ? O que é L ? Qual valor de \epsilon é dado? Qual o valor correspondente de \delta ?

Passo 1

O enunciado dá a relação entre temperatura e potência:
T(w)=0,1\,w^{2}+2\,w+5
e pede três coisas:
  • (a) Qual a potência necessária para obter 200^\circ\mathrm{C}.
  • (b) Se é permitida uma variação de \pm 1^\circ\mathrm{C} em torno de 200^\circ\mathrm{C}, qual o intervalo de potência w permitido.
  • (c) Usando a definição \epsilon,\delta de \lim_{x\to a} f(x)=L: identificar o que é x, o que é f(x), o que é a, o que é L; dizer qual valor de \epsilon foi dado; e qual o valor correspondente de \delta.
Informações relevantes que o enunciado dá:
T(w)=0,1\,w^{2}+2\,w+5,
temperatura desejada 200^\circ\mathrm{C}, e tolerância \pm 1^\circ\mathrm{C} (ou seja, temperatura permitida entre 199^\circ\mathrm{C} e 201^\circ\mathrm{C}).
A resolução começa no Passo 2.

Passo 2

Resolvendo (a): encontrar w tal que T(w)=200.
  1. Escrevemos a equação:
0,1\,w^{2}+2\,w+5=200.
  1. Subtraímos 200 dos dois lados:
0,1\,w^{2}+2\,w-195=0.
  1. Multiplicamos por 10 para eliminar o decimal (isso facilita os cálculos):
w^{2}+20\,w-1950=0.
  1. Agora usamos a fórmula quadrática. Para uma equação \,a w^{2}+b w+c=0, as raízes são
w=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.
Aqui a=1, b=20, c=-1950. Calculamos o discriminante:
\Delta=b^{2}-4ac=20^{2}-4\cdot1\cdot(-1950)=400+7800=8200.
  1. Extraindo a raiz:
\sqrt{8200}=\sqrt{100\cdot82}=10\sqrt{82}.
  1. Aplicando a fórmula:
w=\frac{-20\pm 10\sqrt{82}}{2}=-10\pm 5\sqrt{82}.
  1. Portanto as duas soluções exatas são
w=-10-5\sqrt{82}\quad\text{e}\quad w=-10+5\sqrt{82}.
  1. Calculando aproximadamente (para ter um número que dá intuição):
-10+5\sqrt{82}\approx -10+5\cdot9,055385\approx 35,2769.
-10-5\sqrt{82}\approx -55,2769.

Passo 3

Interpretação física e escolha da solução (continuação do item (a)):
  • A potência w em watts, no contexto físico, deve ser não negativa. Portanto rejeitamos a raiz negativa w\approx -55,2769 como não física.
  • A potência necessária para 200^\circ\mathrm{C} é a raiz positiva
w=-10+5\sqrt{82}\approx 35,2769\\ \text{W}.

Passo 4

Resolvendo (b): encontrar o intervalo de w que garante T(w) dentro de 199^\circ\mathrm{C} e 201^\circ\mathrm{C}.
  1. Escrevemos a condição de temperatura permitida:
199\le 0,1\,w^{2}+2\,w+5\le 201.
  1. Para achar os extremos de w que dão exatamente 199 e 201, resolvemos duas equações separadas.
Primeiro para T(w)=199:
0,1\,w^{2}+2\,w+5=199.
Subtraindo 199 e multiplicando por 10:
w^{2}+20\,w-1940=0.
Discriminante:
\Delta=20^{2}-4\cdot1\cdot(-1940)=400+7760=8160.
Extraindo raiz:
\sqrt{8160}=\sqrt{16\cdot510}=4\sqrt{510}.
Raízes:
w=\frac{-20\pm 4\sqrt{510}}{2}=-10\pm 2\sqrt{510}.
A raiz positiva (a que interessa na prática) é
w_{\text{199}}=-10+2\sqrt{510}\approx -10+2\cdot22,583179\approx 35,1664.
Agora para T(w)=201:
0,1\,w^{2}+2\,w+5=201.
Subtraindo 201 e multiplicando por 10:
w^{2}+20\,w-1960=0.
Discriminante:
\Delta=20^{2}-4\cdot1\cdot(-1960)=400+7840=8240.
Extraindo raiz:
\sqrt{8240}=\sqrt{16\cdot515}=4\sqrt{515}.
Raízes:
w=\frac{-20\pm 4\sqrt{515}}{2}=-10\pm 2\sqrt{515}.
A raiz positiva é
w_{\text{201}}=-10+2\sqrt{515}\approx -10+2\cdot22,693507\approx 35,3870.
  1. Como a parábola T(w) é voltada para cima (coeficiente de w^{2} positivo), o conjunto de w com 199\le T(w)\le 201 consiste de dois intervalos simétricos em torno das raízes negativas e positivas. Novamente, fisicamente consideramos apenas o intervalo com w\ge 0. Assim o intervalo de potência permitido é
w\in\big[\, -10+2\sqrt{510},\\\ -10+2\sqrt{515}\,\big]
ou aproximadamente
w\in[\,35,1664,\;35,3870\,]\\ \text{W}.

Passo 5

Construindo a relação \epsilon,\delta e calculando \delta correspondente (item (c)).
  1. Lembrete da definição informal: dizer que \lim_{x\to a} f(x)=L significa que para todo \epsilon>0 existe \delta>0 tal que se |x-a|<\delta então |f(x)-L|<\epsilon. Aqui \epsilon é a tolerância no valor da função e \delta é a tolerância na variável.
  2. No nosso problema queremos que a temperatura T(w) fique dentro de 1^\circ\mathrm{C} de 200^\circ\mathrm{C}. Assim:
  • O papel de x é desempenhado por w (a variável de entrada).
  • O papel de f(x) é desempenhado por T(w) (a função temperatura).
  • O papel de a é o ponto de interesse em w, isto é o valor de potência que dá exatamente 200^\circ\mathrm{C}: a=-10+5\sqrt{82}.
  • O papel de L é 200 (a temperatura alvo).
  • O valor de \epsilon dado é 1 (grau Celsius), porque permitimos \pm 1^\circ\mathrm{C}.
  1. Para encontrar \delta explícito, resolvemos |T(w)-200|<1. Isso é exatamente a condição que levou aos extremos calculados no Passo 4: as raízes positivas para T(w)=199 e T(w)=201 são os limites do intervalo de w. Portanto, escolhendo \delta como a menor distância do ponto a aos extremos desse intervalo garantimos a implicação desejada. Em fórmulas:
  • extremo inferior positivo: w_{\text{inf}}=-10+2\sqrt{510}.
  • extremo superior positivo: w_{\text{sup}}=-10+2\sqrt{515}.
  • ponto central a=-10+5\sqrt{82}.
Então
\delta=\min\big\{\,a-w_{\text{inf}},\; w_{\text{sup}}-a\,\big\} =\min\big\{\,5\sqrt{82}-2\sqrt{510},\;2\sqrt{515}-5\sqrt{82}\,\big\}.
  1. Calculando numericamente:
a\approx 35,2769,\quad w_{\text{inf}}\approx35,1664,\quad w_{\text{sup}}\approx35,3870,
então
a-w_{\text{inf}}\approx 0,1106,\quad w_{\text{sup}}-a\approx 0,1101.
O menor é aproximadamente 0,1101 W. Assim podemos tomar, por exemplo,
\delta\approx 0,1101\\ \text{W}.
Isto garante que sempre que |w-a|<\delta teremos |T(w)-200|<1.

Resposta

(a) w=-10+5\sqrt{82}\approx 35,2769\\ \text{W}.
(b) w\in\big[\, -10+2\sqrt{510},\\\ -10+2\sqrt{515}\,\big]\approx[\,35,1664,\;35,3870\,]\\ \text{W}.
(c) x=w;\\ f(x)=T(w)=0,1\,w^{2}+2\,w+5;\\ a=-10+5\sqrt{82};\\ L=200;\\ \epsilon=1;\\ \delta=\min\{\,5\sqrt{82}-2\sqrt{510},\;2\sqrt{515}-5\sqrt{82}\,\}\approx 0,1101\\ \text{W}.

Exercícios relacionados