- Uma fornalha para a produção de cristais é usada em uma pesquisa para determinar a melhor maneira de manufaturar os cristais utilizados em componentes eletrônicos para os veículos espaciais. Para a produção perfeita do cristal, a temperatura deve ser controlada precisamente, ajustando-se a potência de entrada. Suponha que a relação seja dada por
onde
é a temperatura em graus Celsius e
é a potência de entrada em watts.
(a) Qual a potência necessária para manter a temperatura em
?
(b) Se for permitida uma variação de
a partir dos
, qual será o intervalo de potência permitido para a entrada?
(c) Em termos da definição
? O que é
? O que é
? O que é
? Qual valor de
é dado? Qual o valor correspondente de
?
(a) Qual a potência necessária para manter a temperatura em
(b) Se for permitida uma variação de
(c) Em termos da definição
Passo 1
O enunciado dá a relação entre temperatura e potência:
e pede três coisas:
- (a) Qual a potência necessária para obter
. - (b) Se é permitida uma variação de
em torno de , qual o intervalo de potência permitido. - (c) Usando a definição
de : identificar o que é , o que é , o que é , o que é ; dizer qual valor de foi dado; e qual o valor correspondente de .
Informações relevantes que o enunciado dá:
temperatura desejada
, e tolerância
(ou seja, temperatura permitida entre
e
).
A resolução começa no Passo 2.
A resolução começa no Passo 2.
Passo 2
Resolvendo (a): encontrar
tal que
.
- Escrevemos a equação:
- Subtraímos
dos dois lados:
- Multiplicamos por
para eliminar o decimal (isso facilita os cálculos):
- Agora usamos a fórmula quadrática. Para uma equação
, as raízes são
Aqui
,
,
. Calculamos o discriminante:
- Extraindo a raiz:
- Aplicando a fórmula:
- Portanto as duas soluções exatas são
- Calculando aproximadamente (para ter um número que dá intuição):
Passo 3
Interpretação física e escolha da solução (continuação do item (a)):
- A potência
em watts, no contexto físico, deve ser não negativa. Portanto rejeitamos a raiz negativa como não física. - A potência necessária para
é a raiz positiva
Passo 4
Resolvendo (b): encontrar o intervalo de
que garante
dentro de
e
.
- Escrevemos a condição de temperatura permitida:
- Para achar os extremos de
que dão exatamente e , resolvemos duas equações separadas.
Primeiro para
:
Subtraindo
e multiplicando por
:
Discriminante:
Extraindo raiz:
Raízes:
A raiz positiva (a que interessa na prática) é
Agora para
:
Subtraindo
e multiplicando por
:
Discriminante:
Extraindo raiz:
Raízes:
A raiz positiva é
- Como a parábola
é voltada para cima (coeficiente de positivo), o conjunto de com consiste de dois intervalos simétricos em torno das raízes negativas e positivas. Novamente, fisicamente consideramos apenas o intervalo com . Assim o intervalo de potência permitido é
ou aproximadamente
Passo 5
Construindo a relação
e calculando
correspondente (item (c)).
-
Lembrete da definição informal: dizer que
significa que para todo existe tal que se então . Aqui é a tolerância no valor da função e é a tolerância na variável. -
No nosso problema queremos que a temperatura
fique dentro de de . Assim:
- O papel de
é desempenhado por (a variável de entrada). - O papel de
é desempenhado por (a função temperatura). - O papel de
é o ponto de interesse em , isto é o valor de potência que dá exatamente : . - O papel de
é (a temperatura alvo). - O valor de
dado é (grau Celsius), porque permitimos .
- Para encontrar
explícito, resolvemos . Isso é exatamente a condição que levou aos extremos calculados no Passo 4: as raízes positivas para e são os limites do intervalo de . Portanto, escolhendo como a menor distância do ponto aos extremos desse intervalo garantimos a implicação desejada. Em fórmulas:
- extremo inferior positivo:
. - extremo superior positivo:
. - ponto central
.
Então
- Calculando numericamente:
então
O menor é aproximadamente
W. Assim podemos tomar, por exemplo,
Isto garante que sempre que
teremos
.
Resposta
(a)
(b)
(c)