Encontre para cada sistema a matriz equivalente reduzida, encontre Ca e Cv e, quando for o caso, o grau de liberdade, classifique os sistemas lineares em SPD, SPI ou SI. Quando possível resolva-o.
c-x-y-2 z=4 y+2 z=-2 x+2 y+4 z=-6

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema
-x - y - 2z = 4, ;y + 2z = -2, ;x + 2y + 4z = -6,
usando eliminação de Gauss/Gauss–Jordan para obter a matriz equivalente reduzida. Em seguida, devemos calcular
Ca= posto da matriz de coeficientes,
Cv= posto da matriz ampliada,
– grau de liberdade =n-Ca (quando Ca=Cv<n),
classificar o sistema em SPD (única solução), SPI (infinitas soluções) ou SI (inconsistente) e, se possível, escrever a solução.

Passo 2

Formamos a matriz ampliada e aplicamos eliminação de Gauss até a forma escalonada:
[ccc|c -1 & -1 & -2 & 4 ;0 & ;1 & ;2 & -2 ;1 & ;2 & ;4 & -6 ]
  1. Troca R1rightarrow R3:
[ccc|c 1 & 2 & 4 & -6 0 & 1 & 2 & -2 -1 & -1 & -2 & 4 ]
  1. Zera embaixo de 1 na coluna 1: R3 R3+R1
[ccc|c 1 & 2 & 4 & -6 0 & 1 & 2 & -2 0 & 1 & 2 & -2 ]
  1. Zera linha redundante: R3 R3-R2
[ccc|c 1 & 2 & 4 & -6 0 & 1 & 2 & -2 0 & 0 & 0 & ;0 ]

Passo 3

Da forma escalonada vemos dois pivôs não nulos, logo
Ca=posto(A)=2, Cv=posto([Amid b])=2
Como Ca=Cv=2<3, há infinitas soluções (SPI) e
grau de liberdade = n-Ca = 3-2 = 1

Passo 4

Agora reduzimos completamente (Gauss–Jordan), zerando acima do pivô em y:
R1 R1 - 2,R2 ;Longrightarrow; [ccc|c 1 & 0 & 0 & -2 0 & 1 & 2 & -2 0 & 0 & 0 & ;0 ]
Esta é a matriz ampliada em forma reduzida.

Passo 5

Das equações reduzidas obtemos
x = -2, y + 2z = -2 ;Longrightarrow; y = -2 - 2z,
e z livre. Se z=tinR, a solução geral é
(x,y,z) = l(-2,;-2-2t,;tr), tinR

Resposta

Matriz ampliada reduzida:
[ccc|c 1 & 0 & 0 & -2 0 & 1 & 2 & -2 0 & 0 & 0 & ;0 ]
Ca=2, Cv=2, grau de liberdade =1;
classificação: SPI (infinitas soluções);
solução geral:
(x,y,z)=(-2,,-2-2t,,t),;tinR

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