Use a Regra da Cadeia para achar \frac{d z}{d t}.
Use a Regra da Cadeia para calcular \frac{d z}{d t} ou \frac{d w}{d t} no ponto indicado
z=x^{2}+y^{2}, x=\cos t+\sin t, y=\cos t-\sin t ;\quad t=0

Passo 1

O enunciado pede para calcular \dfrac{dz}{dt} no ponto t=0. As informações dadas são:
z=x^{2}+y^{2},\qquad x=\cos t+\sin t,\qquad y=\cos t-\sin t,\qquad t=0.
Ou seja, z é uma função de duas variáveis x e y, que por sua vez dependem de t. Queremos a derivada de z em relação a t quando t=0.

Passo 2

Regra da Cadeia (forma para funções de várias variáveis): se z=z(x,y) com x=x(t) e y=y(t), então
\frac{dz}{dt}=\frac{\partial z}{\partial x}\,\frac{dx}{dt}+\frac{\partial z}{\partial y}\,\frac{dy}{dt}.
Aqui \dfrac{\partial z}{\partial x} é a derivada parcial de z em relação a x mantendo y fixo, e \dfrac{dx}{dt} é a derivada de x em relação a t. A expressão soma as contribuições de como z muda quando x muda e quando y muda, multiplicadas pelas velocidades de x e y ao longo de t.

Passo 3

Calcule as derivadas parciais de z=x^{2}+y^{2}:
\frac{\partial z}{\partial x}=2x,\qquad \frac{\partial z}{\partial y}=2y.
Explicação: derivamos x^{2} em relação a x como 2x (tratando y como constante) e y^{2} em relação a y como 2y.

Passo 4

Calcule \dfrac{dx}{dt} e \dfrac{dy}{dt} a partir de x=\cos t+\sin t e y=\cos t-\sin t:
\frac{dx}{dt}=-\sin t+\cos t,\qquad \frac{dy}{dt}=-\sin t-\cos t.
Detalhe: \dfrac{d}{dt}\cos t=-\sin t e \dfrac{d}{dt}\sin t=\cos t.

Passo 5

Avalie x, y, \dfrac{dx}{dt} e \dfrac{dy}{dt} em t=0:
x(0)=\cos 0+\sin 0=1+0=1,
y(0)=\cos 0-\sin 0=1-0=1,
\frac{dx}{dt}\Big|_{t=0}=-\sin 0+\cos 0=0+1=1,
\frac{dy}{dt}\Big|_{t=0}=-\sin 0-\cos 0=0-1=-1.

Passo 6

Avalie as derivadas parciais em t=0 usando os valores de x(0) e y(0):
\frac{\partial z}{\partial x}\Big|_{t=0}=2x(0)=2\cdot 1=2,
\frac{\partial z}{\partial y}\Big|_{t=0}=2y(0)=2\cdot 1=2.

Passo 7

Use a Regra da Cadeia e substitua os valores avaliados:
\frac{dz}{dt}\Big|_{t=0}=\left(\frac{\partial z}{\partial x}\Big|_{t=0}\right)\!\left(\frac{dx}{dt}\Big|_{t=0}\right)+\left(\frac{\partial z}{\partial y}\Big|_{t=0}\right)\!\left(\frac{dy}{dt}\Big|_{t=0}\right)
=2\cdot 1 + 2\cdot(-1)=2-2=0.
Interpretação rápida: o vetor gradiente de z em (x,y)=(1,1) é (2,2) e o vetor velocidade (dx/dt,dy/dt) em t=0 é (1,-1); o produto escalar dá zero, ou seja, no instante t=0 z não está mudando ao longo da curva dada.

Resposta

\;0

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