Use a Regra da Cadeia para achar \frac{d z}{d t}.
Use a Regra da Cadeia para calcular \frac{d z}{d t} ou \frac{d w}{d t} no ponto indicado
w=\frac{x}{z}+\frac{y}{z}, x=\cos ^{2} t, y=\sin ^{2} t, z=\frac{1}{t} ;\quad t=3

Passo 1

O enunciado fornece as seguintes expressões e pede que calculemos derivadas usando a Regra da Cadeia:
w=\frac{x}{z}+\frac{y}{z},\qquad x=\cos^{2}t,\qquad y=\sin^{2}t,\qquad z=\frac{1}{t},
e o ponto indicado é t=3.
Informações relevantes: as três funções x,y,z dependem de t; portanto w é uma função de t indiretamente. Precisamos aplicar derivação composta (Regra da Cadeia) para obter \dfrac{dz}{dt} e/ou \dfrac{dw}{dt} e então avaliar no ponto t=3.

Passo 2

Vamos achar primeiro \dfrac{dz}{dt}. A função é
z(t)=\frac{1}{t}=t^{-1}.
Aqui é direto usar a regra da potência: se u(t)=t^{n}, então \dfrac{du}{dt}=n t^{n-1}. Aplicando com n=-1:
\frac{dz}{dt} = -1\cdot t^{-2} = -\frac{1}{t^{2}}.
Isso já é \dfrac{dz}{dt} em forma explícita.

Passo 3

Avaliamo-la em t=3. Substituindo t=3 em \dfrac{dz}{dt}=-\dfrac{1}{t^{2}}:
\left.\frac{dz}{dt}\right|_{t=3} = -\frac{1}{3^{2}} = -\frac{1}{9}.

Passo 4

Agora vamos analisar w. Observe que x e y são dadas por
x=\cos^{2}t,\qquad y=\sin^{2}t,
e conhecemos a identidade trigonométrica fundamental
\cos^{2}t+\sin^{2}t=1.
Logo podemos somar x e y:
x+y = \cos^{2}t+\sin^{2}t = 1.

Passo 5

Substituindo x+y=1 em w obtemos uma grande simplificação. Escrevendo w como soma com denominador comum,
w=\frac{x}{z}+\frac{y}{z}=\frac{x+y}{z}=\frac{1}{z}.
Portanto w é, de fato, uma composição simples: w(t)=\dfrac{1}{z(t)}, com z(t)=1/t.

Passo 6

Agora aplicamos a Regra da Cadeia para derivar w em função de t. Se w(z)=\dfrac{1}{z}=z^{-1} e z=z(t), então pela Regra da Cadeia
\frac{dw}{dt}=\frac{dw}{dz}\cdot\frac{dz}{dt}.
Calculemos \dfrac{dw}{dz}: derivando w(z)=z^{-1} com relação a z
\frac{dw}{dz} = -1\cdot z^{-2} = -\frac{1}{z^{2}}.
Temos já \dfrac{dz}{dt}=-\dfrac{1}{t^{2}} do Passo 2. Então
\frac{dw}{dt} = \left(-\frac{1}{z^{2}}\right)\left(-\frac{1}{t^{2}}\right) = \frac{1}{z^{2}t^{2}}.

Passo 7

Para avaliar \dfrac{dw}{dt} explicitamente em termos de t, substituímos z=\dfrac{1}{t} em z^{2}:
z^{2}=\left(\frac{1}{t}\right)^{2}=\frac{1}{t^{2}}.
Portanto
\frac{1}{z^{2}t^{2}} = \frac{1}{\left(\frac{1}{t^{2}}\right) t^{2}} = \frac{1}{1} = 1.
Isso mostra que, para qualquer t\neq 0,
\frac{dw}{dt}=1.

Passo 8

Finalmente avaliamos no ponto pedido t=3:
\left.\frac{dw}{dt}\right|_{t=3}=1.

Resposta

\displaystyle \frac{dz}{dt}=-\frac{1}{t^{2}}
\displaystyle \left.\frac{dz}{dt}\right|_{t=3}=-\frac{1}{9}
\displaystyle \left.\frac{dw}{dt}\right|_{t=3}=1

Exercícios relacionados