Encontre o campo elétrico em todo espaço gerado por uma câmada esferica com raio interno r_{1} e raio externo r_{2}. A densidade de carga elétrica varia linearmente com a distancia
\rho(r)=\rho_{0} \frac{r}{r_{1}}
onde \rho_{0}= const .

Passo 1

O enunciado pede o campo elétrico \mathbf{E}(r) gerado por uma casca esférica de raio interno r_{1} e externo r_{2}, cuja densidade volumétrica varia segundo
\rho(r)=\rho_{0}\,\frac{r}{r_{1}}.
O tema é aplicação da lei de Gauss em simetria esférica. Vamos escolher uma superfície gaussiana de raio genérico r e usar
\oint \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A}=\frac{Q_{\text{int}}}{\varepsilon_{0}}.

Passo 2

Para r<r_{1} não há carga no interior da superfície gaussiana, pois toda a carga está contida na casca entre r_{1} e r_{2}. Logo
Q_{\text{int}}=0
e, pela lei de Gauss,
E(r)\,4\pi r^{2}=0 \quad\Longrightarrow\quad E(r)=0,\quad r<r_{1}.

Passo 3

Para r_{1}\le r\le r_{2}, a carga interna é
Q_{\text{int}}(r) =\int_{r_{1}}^{r}\rho(r')\,4\pi r'^{2}dr' =\frac{4\pi\rho_{0}}{r_{1}}\int_{r_{1}}^{r}r'^{3}dr' =\frac{4\pi\rho_{0}}{r_{1}}\cdot\frac{r^{4}-r_{1}^{4}}{4} =\frac{\pi\rho_{0}}{r_{1}}\bigl(r^{4}-r_{1}^{4}\bigr).
Aplicando Gauss:
E(r)\,4\pi r^{2} =\frac{Q_{\text{int}}(r)}{\varepsilon_{0}} =\frac{\pi\rho_{0}}{\varepsilon_{0}r_{1}}\bigl(r^{4}-r_{1}^{4}\bigr)
\Rightarrow E(r) =\frac{\rho_{0}}{4\varepsilon_{0}r_{1}} \;\frac{r^{4}-r_{1}^{4}}{r^{2}} =\frac{\rho_{0}}{4\varepsilon_{0}r_{1}} \Bigl(r^{2}-\frac{r_{1}^{4}}{r^{2}}\Bigr), \quad r_{1}\le r\le r_{2}.

Passo 4

Para r>r_{2} usamos a carga total da casca, obtida ao fazer r=r_{2} no resultado anterior:
Q_{\text{tot}} =\frac{\pi\rho_{0}}{r_{1}}\bigl(r_{2}^{4}-r_{1}^{4}\bigr).
A lei de Gauss dá
E(r)\,4\pi r^{2}=\frac{Q_{\text{tot}}}{\varepsilon_{0}} \quad\Longrightarrow\quad E(r) =\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\, \frac{Q_{\text{tot}}}{r^{2}} =\frac{\rho_{0}}{4\varepsilon_{0}r_{1}}\, \frac{r_{2}^{4}-r_{1}^{4}}{r^{2}}, \quad r>r_{2}.

Resposta

E(r)= \begin{cases} 0, & r<r_{1},\\[6pt] \dfrac{\rho_{0}}{4\varepsilon_{0}r_{1}} \Bigl(r^{2}-\dfrac{r_{1}^{4}}{r^{2}}\Bigr), & r_{1}\le r\le r_{2},\\[8pt] \dfrac{\rho_{0}}{4\varepsilon_{0}r_{1}}\, \dfrac{r_{2}^{4}-r_{1}^{4}}{r^{2}}, & r>r_{2}, \end{cases}
no sentido radial para fora.]

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