Encontre os campos gradientes \nabla f das seguintes funções:
f(x, y)=\sin \left(x^{2}+y^{2}\right)

Passo 1

O enunciado pede para encontrar o campo gradiente da função f dada. Informações do enunciado:
  • A função é f(x,y)=\sin\!\big(x^{2}+y^{2}\big).
  • O que se deve entregar: o vetor gradiente \nabla f(x,y), isto é, as derivadas parciais de f em relação a x e a y.

Passo 2

O que é o gradiente? De forma direta e prática: o gradiente de f é o vetor formado pelas derivadas parciais de f. Em notação,
\nabla f(x,y)=\left(\frac{\partial f}{\partial x}(x,y),\;\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)\right).
Cada derivada parcial significa: derivar a função em relação a uma variável mantendo a outra fixa. Vou agora calcular cada componente passo a passo.

Passo 3

Preparando a derivação: a função é composta — temos uma função externa \sin(u) com u=x^{2}+y^{2}. Para funções compostas usamos a regra da cadeia: a derivada de \sin(u) em relação a uma variável é \cos(u) vezes a derivada de u em relação àquela variável. Ou seja, para uma variável t,
\frac{d}{dt}\sin(u(t))=\cos(u(t))\cdot \frac{du}{dt}.
Aqui vamos aplicar isso com t=x e t=y.

Passo 4

Derivada parcial em relação a x:
  • Primeiro identifique u(x,y)=x^{2}+y^{2}.
  • Calcule \dfrac{\partial u}{\partial x}=2x porque y é tratado como constante ao derivar em relação a x.
  • Aplique a regra da cadeia:
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y) = \cos\big(x^{2}+y^{2}\big)\cdot \frac{\partial}{\partial x}\big(x^{2}+y^{2}\big) = \cos\big(x^{2}+y^{2}\big)\cdot 2x.
Portanto
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=2x\cos\big(x^{2}+y^{2}\big).

Passo 5

Derivada parcial em relação a y:
  • Usando o mesmo u(x,y)=x^{2}+y^{2}.
  • Calcule \dfrac{\partial u}{\partial y}=2y.
  • Aplique a regra da cadeia:
\frac{\partial f}{\partial y}(x,y) = \cos\big(x^{2}+y^{2}\big)\cdot \frac{\partial}{\partial y}\big(x^{2}+y^{2}\big) = \cos\big(x^{2}+y^{2}\big)\cdot 2y.
Portanto
\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=2y\cos\big(x^{2}+y^{2}\big).

Passo 6

Juntando as duas componentes teremos o gradiente completo. Uma escrita compacta e elegante é fatorar 2\cos(x^{2}+y^{2}) multiplicando o vetor (x,y). Também vale notar (para ajudar na intuição) que o gradiente aponta na direção de maior crescimento de f e sua norma é
\|\nabla f(x,y)\|=2\sqrt{x^{2}+y^{2}}\;\big|\cos\big(x^{2}+y^{2}\big)\big|.
Exemplos rápidos de avaliação (só para treinar): em (1,0) tem-se \nabla f(1,0)=(2\cos(1),0); em (1,1) tem-se \nabla f(1,1)=(2\cos(2),2\cos(2)).

Resposta

\nabla f(x,y)=\big(2x\cos\big(x^{2}+y^{2}\big),\;2y\cos\big(x^{2}+y^{2}\big)\big)

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