Encontre a carga total, com sigma(x, y)=x y na região triangular de vertices (0,0),(2,1) e (0,1)

Passo 1

Nesse exercício temos uma densidade de carga superficial sigma(x,y)=x,y definida sobre o triângulo com vértices em (0,0), (2,1) e (0,1). O conteúdo aqui é integral dupla para encontrar a carga total Q=integral duplaDsigma(x,y),dA.

Passo 2

Para montar a integral dupla, precisamos descrever bem a região D. O lado que vai de (0,0) a (2,1) é dado por y=tfrac12 x, ou seja, x=2y. Os outros dois lados são x=0 e y=1. Logo, podemos usar como variáveis de integração y de 0 até 1 e, para cada y, x vai de 0 até 2y.

Passo 3

Com a região descrita, o integral dupla fica:
Q=integral duplaD x,y,dA=integraly=0^1integralx=0^2yx,y,dx,dy

Passo 4

Agora calculamos a integral interna (em x):
integralx=0^2yx,y,dx = yintegral0^2yx,dx = y[tfracx^22]0^2y = ycdottfrac(2y)^22 =2y^3

Passo 5

Em seguida, integramos em y:
Q=integral0^12y^3,dy =2[tfracy^44]0^1 =2cdottfrac14=tfrac12

Resposta

\tfrac12

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