Sejam a, b e d constantes reais positivas. Considere as retas
, que cortam Oy em A e Ox em B. Se
, qual o volume máximo, em função de
, do sólido de revolução gerado pelo triângulo OAB em torno de
?
a)
b)
c)
d)
e)
@vitinhoestudos
a)
b)
c)
d)
e)
@vitinhoestudos
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre geometria analítica e cálculo de volumes de sólidos de revolução. A gente tem três constantes positivas $ a $, $ b $ e $ d $, e uma reta definida por $ bx + ay = ab $. Essa reta corta os eixos $ Ox $ e $ Oy $ nos pontos $ B $ e $ A $, respectivamente. Sabemos que a distância entre $ A $ e $ B $ é $ d $. A pergunta é: qual é o volume máximo, em função de $ d $, do sólido gerado ao rotacionar o triângulo $ OAB $ em torno do eixo $ Oy $?
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as coordenadas dos pontos $ A $ e $ B $. Quando $ x = 0 $, temos a interseção com $ Oy $:
Então, $ A = (0, b) $.
Quando $ y = 0 $, a interseção com $ Ox $:
Então, $ B = (a, 0) $.
Passo 3
Agora, queremos a distância $ AB = d $. A distância entre dois pontos $ (x_1, y_1) $ e $ (x_2, y_2) $ é dada por:
Então, temos:
Elevando ao quadrado:
Passo 4
O próximo passo é encontrar o volume do sólido gerado pela rotação do triângulo $ OAB $ em torno do eixo $ Oy $. Isso forma um cone, onde $ Oy $ é o eixo de rotação. A fórmula do volume de um cone é:
Aqui, $ r $ é o raio da base do cone (nesse caso, $ a $) e $ h $ é a altura do cone (nesse caso, $ b $).
Então:
Passo 5
Queremos maximizar esse volume em função de $ d $. Sabemos que $ a^2 + b^2 = d^2 $. Podemos expressar $ b $ em termos de $ a $:
Substituindo na fórmula do volume:
Passo 6
Para encontrar o valor de $ a $ que maximiza o volume $ V $, derivamos $ V $ em relação a $ a $ e igualamos a zero:
Após derivar e simplificar, chegamos à relação:
Passo 7
Substituindo esses valores de $ a $ e $ b $ na fórmula do volume:
Simplificando, multiplicando numerador e denominador por $ \sqrt{3} $:
Resposta
A resposta correta é a letra e):
.