Sejam a, b e d constantes reais positivas. Considere as retas bx+ay=ab, que cortam Oy em A e Ox em B. Se AB=d, qual o volume máximo, em função de d, do sólido de revolução gerado pelo triângulo OAB em torno de 0y?
a) pi / 3 d^3
b) pi / 9 d^3
c) 2 pi / 9 d^3
d) 2 pi raiz 3 / 9 d^3
e) 2 pi raiz 3 / 27 d^3
@vitinhoestudos

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre geometria analítica e cálculo de volumes de sólidos de revolução. A gente tem três constantes positivas $ a $, $ b $ e $ d $, e uma reta definida por $ bx + ay = ab $. Essa reta corta os eixos $ Ox $ e $ Oy $ nos pontos $ B $ e $ A $, respectivamente. Sabemos que a distância entre $ A $ e $ B $ é $ d $. A pergunta é: qual é o volume máximo, em função de $ d $, do sólido gerado ao rotacionar o triângulo $ OAB $ em torno do eixo $ Oy $?

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as coordenadas dos pontos $ A $ e $ B $. Quando $ x = 0 $, temos a interseção com $ Oy $:
A
B
x = 0
Então, $ A = (0, b) $.
Quando $ y = 0 $, a interseção com $ Ox $:
Oy
bx + ay = ab
Então, $ B = (a, 0) $.

Passo 3

Agora, queremos a distância $ AB = d $. A distância entre dois pontos $ (x_1, y_1) $ e $ (x_2, y_2) $ é dada por:
AB = d
Então, temos:
(x1, y1)
Elevando ao quadrado:
(x2, y2)

Passo 4

O próximo passo é encontrar o volume do sólido gerado pela rotação do triângulo $ OAB $ em torno do eixo $ Oy $. Isso forma um cone, onde $ Oy $ é o eixo de rotação. A fórmula do volume de um cone é:
OAB
Aqui, $ r $ é o raio da base do cone (nesse caso, $ a $) e $ h $ é a altura do cone (nesse caso, $ b $).
Então:
Oy

Passo 5

Queremos maximizar esse volume em função de $ d $. Sabemos que $ a^2 + b^2 = d^2 $. Podemos expressar $ b $ em termos de $ a $:
d
Substituindo na fórmula do volume:
a^2 + b^2 = d^2

Passo 6

Para encontrar o valor de $ a $ que maximiza o volume $ V $, derivamos $ V $ em relação a $ a $ e igualamos a zero:
a
Após derivar e simplificar, chegamos à relação:
V
V

Passo 7

Substituindo esses valores de $ a $ e $ b $ na fórmula do volume:
a
b
Simplificando, multiplicando numerador e denominador por $ \sqrt{3} $:
V = 13 pi a^2 b = 13 pi (d^2 cdot 23) (d cdot 1raiz3)

Resposta

A resposta correta é a letra e): dfrac2pi raiz327 d^3.

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