Encontre a carga total no volume especificado: rhov=3 pi sen theta cos ^2 phi2 r^2(r^2+1), em todo espaço.

Passo 1

Beleza, vamos lá. A questão pede para encontrar a carga total rhov(r,theta,phi)=3pi,sintheta,cos^2phi2,r^2,(r^2+1) em todo o espaço, sabendo que a densidade volumétrica é
dV = r^2sintheta,dr,dtheta,dphi
Conteúdo: cálculo de integrais triplas em coordenadas esféricas (volume, densidade). Precisamos lembrar que o volume em esféricas é
e integrar sobre , , .

Passo 2

Agora montamos o integral para a carga total:
Q=integral triplaespaçorhov,dV =integral0^2pi!integral0^pi!integral0^infty 3pi,sintheta,cos^2phi2,r^2(r^2+1);l(r^2sinthetar),dr,dtheta,dphi ç
Repare que o Q =3pi2 integral0^inftydrr^2+1 ;integral0^pisin^2theta,dtheta ;integral0^2picos^2phi,dphi de cancela o de , sobrando:

Passo 3

Vamos fazer as integrais angulares primeiro, porque elas são independentes de integral0^pisin^2theta,dtheta =12integral0^pi(1-cos2theta),dtheta =12l[theta-tfracsin2theta2r]0^pi =pi2 :
  1. integral0^2picos^2phi,dphi =12integral0^2pi(1+cos2phi),dphi =12l[2pi+0r] =pi .
    Lembrando ,
  2. .
    Similarmente ,
Então o produto angular vale

Passo 4

Agora a integral em integral0^inftydrr^2+1 =l[arctan(r)r]0^infty =pi2 :
Q =3pi2 ;times;pi^22 ;times;pi2 =3pi^48
Juntando tudo:

Resposta

A carga total no espaço é
boxedQ=3pi^48

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