Encontre a carga total no volume especificado:
, em todo espaço.
Passo 1
Beleza, vamos lá. A questão pede para encontrar a carga total
em todo o espaço, sabendo que a densidade volumétrica é
Conteúdo: cálculo de integrais triplas em coordenadas esféricas (volume, densidade). Precisamos lembrar que o volume em esféricas é
e integrar sobre
,
,
.
Passo 2
Agora montamos o integral para a carga total:
Repare que o
de
cancela o
de
, sobrando:
Passo 3
Vamos fazer as integrais angulares primeiro, porque elas são independentes de
:
-
.
Lembrando, -
.
Similarmente,
Então o produto angular vale
Passo 4
Agora a integral em
:
Juntando tudo:
Resposta
A carga total no espaço é