Encontre a carga total em cada um dos volumes especificados:
(a)
;
(b)
;
©
, em todo espaço.
(a)
(b)
©
Passo 1
Beleza, o enunciado pede pra gente achar a carga total
- Conteúdo: integrais triplas em coordenadas Cartesianas, Cilíndricas e Esféricas.
- O que precisamos: saber que a carga total é
e conhecer o elemento de volume
Passo 2
Parte (a) em coordenadas Cartesianas
- A densidade é
no retângulo
2) A carga é
Como tudo separa, fazemos três integrais independentes:
-
-
-
Juntando tudo:
Passo 3
Parte (b) em coordenadas Cilíndricas
- Temos
, mas , , .
Logo
e o integrando vira
2) A região é
Então
Separando:
-
-
(pois é ) -
Logo
Passo 4
Parte © em coordenadas Esféricas
- A densidade é
Multiplicando dá
$$\rho_v,dV=\frac{3\pi\sin\theta\cos2\phi}{2,r2(r2+1)};r2\sin\theta,dr,d\theta,d\phi
=\frac{3\pi\cos2\phi,\sin2\theta}{2(r^2+1)},dr,d\theta,d\phi.
rhov,dV=3pisinthetacos^2phi2,r^2(r^2+1);r^2sintheta,dr,dtheta,dphi =3picos^2phi,sin^2theta2(r^2+1),dr,dtheta,dphi Q_c=\frac{3\pi}{2},\Bigl(\frac\pi2\Bigr)\Bigl(\frac\pi2\Bigr),\pi
=\frac{3\pi^4}{8}.$$
Resposta
(a)
Qa=396pi,(e^0.1-e^-0.2)
(b)Qb=36
©Qc=3pi^48
(b)
©