Encontre a carga total em cada um dos volumes especificados:
(a) rhov=10 z e^-0,1 x sen pi y ;-1 <= x <= 2,0 <= y <= 1,3 <= z <= 3,6;
(b) rhov=4 x y z ; 0 <= rho <= 2,0 <= phi <= pi / 2,0 <= z <= 3;
© rhov=3 pi sen theta cos ^2 phi2 r^2(r^2+1), em todo espaço.

Passo 1

Beleza, o enunciado pede pra gente achar a carga total
  • Conteúdo: integrais triplas em coordenadas Cartesianas, Cilíndricas e Esféricas.
  • O que precisamos: saber que a carga total é
Q=integral triplaV rhov,dV
e conhecer o elemento de volume dV em cada sistema (Cartesianas: dx,dy,dz, Cilíndricas: rho,drho,dphi,dz, Esféricas: r^2sintheta,dr,dtheta,dphi).

Passo 2

Parte (a) em coordenadas Cartesianas
  1. A densidade é
rhov=10,z,e^-0.1xsin(pi y)
no retângulo -1<= x<=2,;0<= y<=1,;3<= z<=3.6.
2) A carga é
Qa=integralx=-1^2!integraly=0^1!integralz=3^3.610,z,e^-0.1xsin(pi y),dz,dy,dx
Como tudo separa, fazemos três integrais independentes:
  • integral3^3.6z,dz=l[tfracz^22r]3^3.6=tfrac3.6^2-3^22=1.98
  • integral-1^2 e^-0.1xdx=l[-10,e^-0.1xr]-1^2=10l(e^0.1-e^-0.2r)
  • integral0^1sin(pi y),dy=l[-tfrac1picos(pi y)r]0^1=tfrac2pi
    Juntando tudo:
Qa=10cdot1.98cdot10l(e^0.1-e^-0.2r)cdottfrac2pi=396pi,l(e^0.1-e^-0.2r)

Passo 3

Parte (b) em coordenadas Cilíndricas
  1. Temos rhov=4xyz, mas x=rhocosphi, y=rhosinphi, dV=rho,drho,dphi,dz.
    Logo
rhov=4(rhocosphi)(rhosinphi)z=4,rho^2cosphisinphi,z
e o integrando vira 4,rho^3cosphisinphi,z.
2) A região é 0<=rho<=2,;0<=phi<=tfracpi2,;0<= z<=3.
Então
Qb=integral0^2!integral0^pi/2!integral0^3 4,rho^3cosphisinphi,z;dz,dphi,drho
Separando:
  • integral0^3 z,dz=tfrac92
  • integral0^pi/2cosphisinphi,dphi=tfrac12 (pois é tfrac12integralsin2phi)
  • integral0^2rho^3,drho=tfracrho^44|0^2=4
    Logo
Qb=4cdot4cdottfrac12cdottfrac92=36

Passo 4

Parte © em coordenadas Esféricas
  1. A densidade é
rhov=3pisinthetacos^2phi2,r^2,l(r^2+1r), dV=r^2sintheta,dr,dtheta,dphi
Multiplicando dá
$$\rho_v,dV=\frac{3\pi\sin\theta\cos2\phi}{2,r2(r2+1)};r2\sin\theta,dr,d\theta,d\phi
=\frac{3\pi\cos2\phi,\sin2\theta}{2(r^2+1)},dr,d\theta,d\phi. rhov,dV=3pisinthetacos^2phi2,r^2(r^2+1);r^2sintheta,dr,dtheta,dphi =3picos^2phi,sin^2theta2(r^2+1),dr,dtheta,dphiQ_c=\frac{3\pi}{2},\Bigl(\frac\pi2\Bigr)\Bigl(\frac\pi2\Bigr),\pi
=\frac{3\pi^4}{8}.$$

Resposta

(a) Qa=396pi,(e^0.1-e^-0.2)
(b) Qb=36
© Qc=3pi^48

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